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«  8.  La  superficie  Sa  sia  im  fascio  di  raggi  (A  —  «)  del  complesso  r. 
Allora  le  superficie  K4  della  trasformazione  doAOita  alle  00  '  congruenze  li- 
neari di  r  che  contengono  il  fascio  (A  —  a),  si  spezzano  nel  piano  «  ed  in 
superficie  di  3°  ordine  K3  costituenti  ima  rete,  di  cui  risulta  linea  base 
quella  parte  della  linea  fondamentale  Ciò  della  T  che  non  giace  nel  piano  «. 
E  siccome  due  superficie  della  rete,  dovute  alle  congruenze  lineari  {t — t'), 
{u  —  u').  hanno  in  comune,  oltre  la  linea  in  questione,  la  conica  Co,  che  nel 
piano  iì=t'  u'  della  stella  A  forma  con  il  raggio  a  ^  del  fascio  (A — «)  la 
linea  J  del  piano  /?,  perciò  la  linea  base  della  X3  è  una  C7  di  genere  5 
passante  per  A  ed  appoggiata  in  sei  punti  alla  conica  C2 . 
-  Partendo  inversamente  da  una  tale  curva  Ct  e  dal  complesso  riesce 
agevole  cos'tniire  la  ti'asformazione  Tio  che  cercasi. 
«  Si  noti  infatti  che  una  C7  gobba  di  genere  5  è  base  di  ima  rete  di 
superficie  di  3°  ordine  di  cui  i  fasci  hanno  per  ulteriori  linee  basi  coniche  C2 
appoggiate  in  sei  punti  alla  C7.  Di  queste  00  -  coniche  una  ne  passa  per 
ogni  punto  P  dello  spazio  ;  solo  quando  P  è  un  punto  della  C7 ,  le  coniche 
del  sistema  che  passano  per  esso,  sono  00  ^  e  giacciono  sulla  superficie  della 
rete  che  ha  in  P  un  punto  doppio. 
li  I  piani  delle  coniche  C2  costituiscono  una  stella  di  cui  è  centro  un 
punto  A  della  C^.  Chè  se  Co ,  C'2  sono  due  qiialsiansi  coniche  del  sistema, 
basi  dei  fasci  L  ,  L'  della  rete,  e  tt  ,71'  sono  i  loro  piani,  il  fascio  L'  sega 
il  piano  Tc  secondo  un  fascio  di  cubiche  del  quale  sei  punti  base  sono  i 
punti  (Co  -  C-),  onde  gli  altri  tre  sono  su  una  stessa  retta.  Ora  di  questi 
ultimi  punti  due  sono  i  punti  (tt  C'2)  e  il  terzo  è  il  punto  (rrC,)  =  A  non 
situato  su  C2,  sicché  per  questo  punto  A  deteminato  completamente  dal  ' 
piano  TT  della  conica  Co ,  passa  il  piano  n'  di  ogni  altra  conica  analoga  C'2  • 
•  E  inversamente  ogni  piano  rv  passante  per  A  contiene  ima  conica  C2 , 
dal  che  segue  anche  che  una  conica  del  sistema  è  determinata  univocamente 
da  una  sua  corda  che  non  passi  per  A  ('). 
t  Ora  se  con  la  C7  è  dato  un  complesso  lineare  F,  le  coppie  di  punti  P  P' 
(')  Le  superfìcie  £3  =  07  di  un  fascio  F  segano  il  piano  n  della  conica  C»  base  del 
fascio  secondo  le  rette  del  fascio  (A  —  n).  Da  ciò  segue  che  ciascuna  superficie 
della  rete  contiene  una  retta  k  della  stella  A  (essa  è  l'unica  retta  della  K3  che 
si  appoggia  in  un  solo  punto  alla  Ct),  sicché  essa  superficie  può  riguardarsi  come  il  luogo 
delle  coniche  C2  situate  nei  piani  passanti  per  il  raggio  k.  Ne  segue  che  le  coniche  Co 
che  si  appoggiano  ad  una  retta  r  sono  nei  piani  di  un  cono  di  3^  classe  della  stella  A 
e  generano  una  superficie  omaloide  Fs  =  C-^  r  C»-  essendo  quest'ultima  la  C2  che  ha  per  corda 
la  r.  Analogamente  le  coniche  C»  tangenti  ad  un  piano  q  sono  nei  piani  di  un  cono  di 
4^  classe  della  stella  A,  e  generano  una  Fio  =  C;^,  la  quale  è  toccata  dal  piano  q  lungo  una 
Ce  che  ha  7  punti  doppi  sulla  C7 . 
Si  ha  con  ciò  il  mezzo  di  determinare  le  caratteristiche  elementari  del  sistema  delle 
coniche  C2. 
Rendiconti.  1888,  Yol.  IV,  1°  Sem. 
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