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B  La  trasfomazione  ora  studiata  è  l'unica  trasformazione  T  che  am- 
mette due  linee  fondamentali  fra  loro  coniugate. 
«  3.  Si  parta  da  ima  superficie  A4  =  «1^03/1;,  in  cui  la  C3  sia  gobba  e  due 
qualsiansi  delle  «1 ,  C3 ,  k  non  abbiano  alcun  punto  in  comune.  Segando  la 
superficie  con  una  S4,  che  passi  due  volte  per  la  C3  e  contenga  le  rette 
wii , ...  della  superficie  A4,  corde  della  C3  non  appoggiate  alla  A',  si  ottiene 
come  ulteriore  sezione  una -He  di  genere  1.  Al  solito  è  possibile  costruire 
un  fascio  r  =  (A4K4),  che  abbia  per  base  le  k,  C3,  He  e  ima  Ce  di  genere  3  (') 
con  quattro  punti  sulla  ùx  (")>  sicché  viene  ad  aversi  ima  trasformazione  T 
in  cui  le  A, C3, Hg  sono  fondamentali.  In  essa  risultano  fondamentali 
tutti  i  raggi  della  S4  =  C3^H6  (corde  di  entrambe  le  curve  C3, 
He),  e  perciò  si  ottiene  una  T7  in  cui  le  ^  sono  delle  W-,=k'^  Hg^  C3  au  ■■  ae, 
essendo  la  ^2,  al  pari  delle  k,  quatrisecante  della  He,  e  «3 ...  le  corde 
della  He  appoggiate  alle  k,  C3. 
K  La  Jacobiana  delle  (P  è  costituita  dalle  I4  = /i"^  He  C3  «3 . . .  «e, 
Ii6  =  /'-"'^  He^  C3'  («1  0.2)* {as-.aeY,  li  =  k^  He  a-.i  —  ae,  che  corrispondono  rispet- 
tivamente alle  A', He,  C3.  Le  He,  C3  hanno  8  punti  in  comune. 
«  La  superficie  punteggiata  unita  è  una  iÌ4=k^      di  ...ae. 
"  Ogni  congruenza  quadratica  Q2  =  S4  del  complesso  F,  determinato  dalla 
trasformazione,  dà  origine  ad  una  superficie  unita  TJ4  =  k"-  Ho  (§  7,  I).  Di 
tali  superficie  vi  è  un  sistema  lineare  oc^,  dal  quale  si  potrebbe  anche  par- 
tire per  individuare  la  trasformazione. 
4.  t  Infine  si  parta  da  una  superficie  Ai=ai^k^  che  abbia  sulla  k  due  punti 
doppi  P,  Q.  I  piani  tangenti  hmgo  la  k  alla  superficie  formano  un  fascio 
proiettivo  alla  serie  dei  punti  di  contatto,  sicché  le  quattro  rette  mi , ....  ììIì 
della  A4  diverse  da  quelle  che  escono  dai  punti  P,  Q,  appartengono  con  le  k,  ch 
ad  im  iperboloide  I.  Ora  una  superficie  Si=k^  mi ...  (la  quale  ha  per  diret- 
trice semplice  l'ulteriore  sua  sezione  con  la  I)  sega  ulteriormente  la  A4  secondo 
una  C9  =  P^  Q^,  di  genere  4,  che  con  la  k  e  una  Ce  di  genere  3  appoggiata  in  4 
punti  alla  Ui  {^)  forma  la  base  di  un  fascio  di  superficie  K4  =  P^Q^  Perciò 
le  C9  determinano  una  trasformazione  T  n ella  quale  sono  fondamen- 
tali tutte  le  generatrici  della  S4  (trisecanti  della  C9  appoggiate  alla 
(1)  Le  immagini  delle  C3  ,  ,  Ho ,  Ce ,  ffZi  , .  .  .  ffÌ4  sono  risp.  le  linee  d  —  O  (123)-  4  ...  8, 
C,=34o,C6=0n245  (678)SC5  =  0n...8,Ci  =  04,Ci  =  05  ed  i  punti  1,2. 
(2)  n  complesso  lineare  r  che  contiene  da  superficie  S4  (e  perciò  i  raggi  mi, ..  rrii  di 
questa)  passa  anche  pel  raggio  «1 .  Infatti  la  curva  He  passa  per  i  punti  «i  mi , . . .  «i 
senza  toccarvi  i  piani  «i  mi ,  . .  ai  mt,  i  quali  invece  risultano  tangenti  negli  stessi  punti 
alla  Ce  e  quindi  anche  all'iperboloide  I  =  fli  Ce,  sicché  le  direttrici  della  congruenza  lineare 
che  passa  per  i  raggi  »u  ,  . .  .mi  coincidono  in  «1,  il  che  equivale  a  dire  che  ogni  com- 
plesso lineare  r  che  contenga  i  raggi  mi, ..  Mi,  passa  anche  pel  raggio  «1. 
(3)  Le  immagini  dei  punti  P  ,■  Q  e  delle  linee  k  ,Cs  ,Ce  ,mi , .  .mi  sono  risp.  le  linee 
Ci  =  012  ,  Ci  =034 ,  Ci  =  567  ,  Ce^ 01234  (567)=  8^  Cs^On  . . .  8,  Ci  =08  e  i  punti  5,  6,  7. 
