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/i-'),  sicché  si  ottiene  ima  T,  in  cui  le  (t>  sono  delle  0^  =  Cg  essendo  le 
«2  —     come  la  Ui  quatrisecanti  della  C9. 
«  La  Jacobiana  delle  è  una  124=09'^  («i.-.-ae)'  che  corrisponde  alla  C9 . 
La  k  invece  è  linea  unita  singolare  della  trasformazione  (§  7-1). 
"  La  superfìcie  punteggiata  unita  è  una  S2i  =  Ggai....aB- 
u  5.  Le  superfìcie  S5  contenute  in  un  complesso  lineare  r  sono  di  due 
specie  (1):  luna  di  genere  1  con  curva  doppia  di  5°  ordine  e  di  genere  1; 
l'altra  di  genere  0  con  curva  doppia  di  6°  ordine  e  di  genere  1  dotata  di 
un  punto  triplo  che  è  triplo,  anche  per  la  superficie  ('). 
«  Se  si  suppone  che  la  superficie  S,j,  sia  una  Sj^Ks^  considerando  la 
sezione  della  superficie  con  una  superficie  K  della  trasformazione  risiùtante  Te, 
si  deduce  che  l'ulteriore  linea  fondamentale  di  questa  deve  essere  una 
che  ha  da  essere  linea  base  di  un  sistema  lineare  oo^  di  superficie  di  3°  or- 
dine coniugate  a  se  stesse  nella  .  (Sono  le  superfìcie  determinate  (§  7,1) 
dalle  co^  congruenze  quadratiche  che  contengono  la  S5). 
"  Ora  inversamente  un  sistema  lineare  oo^  di  superfìcie  di  3°  ordine  che 
abbia  per  base  una  curva  gobba  C5  di  genere  1,  determina  una  trasformazione 
iuvolutoria  della  specie  che  studiasi,  della  quale  mi  occuperò  in  una  pros- 
sima Nota. 
«  6.  Se  invece  si  suppone  che  la  superficie  S,j.  fosse  una  S5=HG^  l'altra 
linea  fondamentale  situata  sulla  S5  risulterebbe  una  C3  gobba,  sicché  vi  sa- 
rebbe un^  ulteriore  retta  fondamentale  k  tripla  per  le  ;  e  le  oo^  congruenze 
quadratiche  contenenti  la  S5  darebbero  00^  superficie  S3  =  /ì;^  C3  coniugate  a 
se  stesse  nella  T. 
"  Partendo  inversamente  da  una  rete  di  S-s  —  k^Gs  (in  cui  la  C3  é  gobba 
ed  ha  per  corda  la  k)  e  dal  complesso  lineare  r,  si  può  costruire  la  Te . 
«  Infatti  i  fasci  della  rete  hanno  per  linee  basi  variabili  coppie  di  rette 
pp'  appoggiate  alle  k,  C3,  sicché  nella  congruenza  di  1°  ordine  Q,  che  ha 
per  direttrici  queste  due  linee,  viene  ad  aversi  un' involuzione  J  di  Pelasse, 
siffatta  cioè  che  ogni  retta  dello  spazio  incontra  una  sola  coppia  di  essa, 
eccettuati  semplicemente  i  raggi  di  una  congruenza  J  costituita  dalle  diret- 
trici semplici  delle  superficie  S3  della  rete,  delle  quali  direttrici  ciascuna  si 
appoggia  alle  00 ^  coppie  pp'  situate  sulla  S3  a  cui  essa  appartiene. 
«  Fra  le  superfìcie  della  rete  vi  è  un  cono  K3 ,  col  vertice  V  sulla  k, 
(')  Non  teniamo  conto  (e  faremo  lo  stesso  anche  in  seguito)  delle  superficie  conte- 
nute in  congruenze  lineari,  giacché  esse  evidentemente  per  ,a  >>  4  non  possono  essere  con- 
siderate come  superficie  S|j.. 
(2)  Nella  rappresentazione  di  Nother  e  Lie  dei  raggi  del  complesso  r  sui  punti  dello 
spazio  ordinario,  le  due  superficie  Ss  del  complesso  r  hanno  rispettivamente  per  corrispon- 
denti curve  di  4°  ordine  di  genere  1  e  0  che  hanno  tre  punti  sulla  conica  fondamentale 
della  rappresentazione.  V.  Cremona,  Sulla  corrispondenza  fra  la  teoria  dei  sistemi  di  rette 
e  la  teoria  delle  superficie.  Atti  della  E.  Accademia  dei  Lincei.  Serie  2%  voi.  Ili,  §  19. 
