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aversi  due  punteggiate  proiettive,  sezioni  del  sistema  R  contenuto  nella  con- 
gruenza :  e  Tassieme  di  queste  coppie  di  punteggiate  proiettive  (i  cui  sostegni 
formano  la  congruenza  lineare  che  ha  per  direttrici  le  h ,  k)  determina  nello 
spazio  una  trasformazione  T5  della  specie  che  studiasi,  perchè  ogni  raggio  r 
del  complesso  F  appartenendo  ad  un  solo  sistema  R  di  contiene  una  sola 
coppia  di  pimti  coniugati,  eccettuati  i  raggi  della  superficie  So  che  ne  con- 
tengono 00  ^ 
«  Ogni  fascio  (  D  -  cJ)  di  r  che  abbia  il  suo  centro  sulla  curva  doppia  Kg 
della  So ,  forma  un  sistema  R  di  ^  con  un  secondo  fascio  (D'-c)')  che  ha 
anche  il  centro  sulla  Kg .  Le  direttrici  d,  d  '  della  corrispondente  congruenza 
Qi  =  /iA',  appartenendo  ai  fasci  (D-J'),  (D'-J)  vengono  a  corrispondere  per 
intero  ai  punti  D',  D  nella  T,  sicché  questa  ha  per  linea  fondamentale  semplice 
la  Kg.  È  anche  agevole  di  dedurre  dalla  legge  di  generazione  data  alla  T, 
che  le  h ,  k  ne  sono  linee  fondamentali  doppie  e  che  perciò  le  sono  delle 
(p5  =  (/iA')^K8  (il , ..  «4  essendo  «1...  i  raggi  di  T  corde  della  Kg  appoggiati 
alle  ìiji. 
"  La  Jacobiana  delle  CP5  comprende  le  Ig  =  (A/;;)'' Kg  («1 ...  «4)^ 
l4  =  A2/tK8  ...  «4,  l4  =  ^/£^K8  ffli ...  «4,  che  corrispondono  rispettivamente 
alle  Kg,  il,  k. 
"  Il  genere  della  Kg  è  quello  della  superficie  gobba  Ig  che  le  corri- 
sponde, è  cioè  r8°. 
"  La  superficie  punteggiata  unita  della  T5  è  l'iperboloide  luogo  dei  raggi 
del  complesso  r  appoggiati  alle  h ,  k. 
«  Invece  ogni  iperboloide  che  contenga  un  sistema  rigato  K^hk  di  F 
è  unito  nella  T5. 
«  Si  noti  ancora  che  la  S6  =  K8*  determina  oo^  trasformazioni  T5  dovute 
alle  col  coppie  hk  della  specie  accennata  situate  su  di  essa. 
«  8.  Se  infine  per  superficie  Sy.  si  assuma  una  So  =  Kg^  del  complesso  F, 
mediante  la  solita  rappresentazione  del  complesso  si  deduce  che  la  superficie 
ha  due  punti  tripli  A,  B  (tripli  anche  per  la  Kg),  e  che  essa  insieme  ai 
fasci  (A-«),  (B-/J)  di  F  dovuti  a  tali  punti  forma  la  base  di  un  lascio  F  di 
congruenze  quadratiche  di  F.  In  una  qualsiasi  congruenza  di  tale  fascio 
la  retta  k  =  A  B,  congiungendo  due  punti  singolari,  è  anche  sezione  di  due 
piani  singolari  tt,  (i),  i  quali  vengono  incontrati  dai  singoli  raggi  della  Q2 
in  coppie  di  punti  costituenti  una  corrispondenza  quadratica  fra  i  due  piani, 
nella  quale  sono  fondamentali  le  due  terne  di  punti  secondo  cui  i  due  piani 
segano,  oltre  che  in  A  e  B,  la  Kg,  giacché  questa  curva  è  il  luogo  dei  punti 
singolari  delle  congruenze  Q2  del  fascio  F,  non  situati  nei  piani  singolari  a,  /?. 
"  Ora  variando  la  Q2  nel  fascio  F,  la  coppia  n  varia  attorno  alla  k 
generando  un'involuzione  ordinaria  I  proiettiva  al  fascio  F;  e  le  00 ^  corri- 
(')  Caporali,  Mem.  cit.,  n.  1. 
