spondenze  quadratiche  dovute  a  tali  coppie  determinano  nello  spazio  una 
trasformazione  involutoria,  in  cui  ogni  raggio  di  F  (appartenendo  ad  una  sola 
congruenza  Q.,  del  fascio  F)  contiene  una  sola  coppia  di  punti  coniugati,  eccet- 
tuati semplicemente  i  raggi  della  Sg,  che  ne  contengono  oo\  sicché  la  tra- 
sformazione risulta  di  5°  ordine,  ed  in  essa  le  <P  sono  delle  (P5  = /t^  K9  «2 , 
essendo     ,  «2  i  i"aggi  di  F  trisecanti  della  K9  appoggiati  alla  k. 
e  E  la  Jacobiana  delle  è  costituita  dalle  superficie  l4  =  /<;^K9  «2  ; 
Ii2  =  A'°K9^  («lfl;2)^  che  corrispondono  rispettivamente  alle  /r,  Kg. 
tf  II  genere  di  quest'ultima  è  4:  quello  della  superficie  gobba  I12  che 
le  corrisponde. 
<i  La  superficie  punteggiata  unita  della  T5  è  costituita  dai  piani  doppi 
m,  &/  dell'involuzione  I  su  accennata;  e  le  congruenze  O2,  O2'  del  fascio  T, 
che  corrisi^ondono  alle  coppie  wo;,  0/01'  della  I,  formano  la  congruenza  delle 
congiimgenti  punti  coniugati  nella  T  infinitamente  vicini. 
«  I  punti  tripli  A,  B  della  K9  sono  punti  uniti  singolari  della  T5. 
«  9.  La  trasformazióne  T5  ora  studiata  è  completamente  determinata 
dalla  superficie  0,  ciò  che  è  lo  stesso,  da  un  fascio  F  di  congruenze  Q2 
di  jT,  che  abbiano  in  comune  due  fasci  (A-a),  (B-/?). 
«  Ora  nel  fascio  F  può  trovarsi  una  congruenza  Oo  costituita  dai  raggi 
del  complesso  F  appoggiati  ad  una  conica  H2.  La  coppia  di  piani  dell'invo- 
luzione 1,  che  viene  allora  a  corrispondere  a  tale  congruenza,  è  costituita  dal 
piano  tó/,  della  conica  H2  contato  due  volte  (A  e  B  sono  sulla  H2),  essendo 
doppi  per  la  congruenza  O2  i  raggi  del  fascio  (0-w)  del  complesso  F. 
«  Per  la  natura  di  tali  raggi  si  ha  ancora  che  ognuno  di  essi  corri- 
sponde a  ciascun  suo  punto  nella  trasformazione  che  viene  ad  aversi,  sicché 
questa,  trascm-ando  il  piano  w,  si  riduce  ad  una  T  j.  E  siccome  la  superficie  Ss 
risulta  il  luogo  dei  raggi  appoggiati  alla  H2  di  un'altra  qualsiasi  congruenza 
del  fascio  F,  perciò  la  sua  linea  doppia  si  spezza  nella  H2  ed  in  una 
K7  =  A^B^  0,  sicché  nella  T4  le  0  sono  delle  (fi  —  k^K-i  a,  essendo  a  tri- 
secante  della  Kt  appoggiata  alla  k  ;  mentre  la  H2  risulta  linea  unita  singo- 
lare della  trasformazione. 
«  La.  Jacobiana  delle  (P  comprende  le  la^/jK^a,  lg  =  k^  K-,^  a^,  che 
corrispondono  rispettivamente  alle  k,  K-,.  Quest'ultima  linea  é  di  genere  3. 
"  La  superficie  punteggiata  unita  della  T4  é  il  piano  doppio  &/  dell'in- 
voluzione I  diverso  da  w,  e  come  prima  la  congruenza  delle  congiungenti  punti 
coniugati  infinitamente  vicini  spezzasi  nella  congruenza  O2  (dovuta  alla  curva 
unita  singolare  H2)  e  nella  congruenza  O'z  (dovuta  alla  superficie  punteggiata 
unita  01'). 
"  Inversamente  dalla  considerazione  di  una  tale  congruenza  è  agevole 
dedurre  che  ogni  trasformazione  T4  della  specie  che  studiasi,  coincide  con 
quella  considerata  ora. 
«  10.  Esaminiamo  infine  il  caso  che  la  superficie  S;,.  del  complesso  F 
