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«  2."  Passiamo  ora  alla  determinazione  dei  valori  di  Una 
forma  u{^i  ^2)  del  sesto  ordine  possiede,  oltre  gli  invarianti  L,  M,  tre  inva- 
rianti dei  gradi  6°,  10°,  15°  che  indicheremo  con  N,  P,  K. 
"  N,  come  è  noto,  è  l'invariante  cubico  di  /c;  per  fissare  i  valori  di 
P,  E,  sieno  /,  m,  n  i  tre  covarianti  quadratici  di  u  : 
l  =  {uk)i ,      m  =  {lk)2 ,      n  =  {mk)^ 
e  porremo: 
In 
I22 
P  =  1  (ram)2  , 
lìti 
nix 
ni2 
"  Sieno  le  radici  della  equazione  u{x,  1)  =  0  e  si  indichino 
con  a,     e,  d,  e  le  espressioni  : 
(Z  =  ^  U'  {Xr),     b  =r=  ^  II!'  {Xr)  6  =  ^   ^     q  (^r) 
essendo  Xr  ima  qualsivoglia  fra  quelle  radici.  Ora  per  una  nota  proprietà 
dei  covarianti  si  ha  {}): 
k  {xr)  =  W  —  4ac 
e  quindi,  per  le  (1),  si  avrà  : 
a 
«  I  valori  degli  invarianti  L,  M,  N,  P,  R  si  possono  pure  esprimere  in 
funzione  delle  a,  b,  c,d,  e  q  lo  stesso  avrà  pur  luogo  per     u^^-,  Un-,  Mis,  Ui&', 
salvo  che  le  ultime  espressioni  conterranno  un  certo  numero  di  coefBcienti 
indeterminati.  Sostituendo  il  valore  superiore  di  U  e  queste  espressioni  nella  (2), 
si  otterrà  una  equazione  identica  la  quale  condurrà  alla  determinazione  di 
quei  coefficienti.  Evidentemente  per  l' identità  della  equazione  si  potranno 
anche  supporre  nulli  una  o  più  delle  quantità  a,  b  ...e  ,  purché  non  si  anmilli 
alcuno  degli  invarianti  L,  M ...  E.  Per  esempio,  ^vipponendo  b  =  c  =  Q,  si 
ha  tr  =  Q  e  quindi  identicamente  Mi6  =  0.  Ma  in  questa  ipotesi: 
L=— 6ae,       M=3aV/,      N=— ^a^rf* 
P  =—    [a^  +  1 8  «(^^  e  -[-  81       +  5 . 8 1 . 
e  per  questi  valori  vedesi  tosto  che       dovrà  esprimersi  come  segue: 
ui,  =  oo  'L-  W  +  Qi         +    LM-N  +  ^3  MN-  +    W  +  q-,  NP 
essendo  pò ,     ...  coefficienti  indeterminati.  Sostituendo  per  L,  M,  N,  P  i  valori 
superiori  ed  eguagliando  a  zero,  si  hanno  fra  quei  coefficienti  le  relazioni: 
30o  +  ?5  =  0     ei=0     302  +  ()5=:0     ^.3  +  20  ^5  =  O     3^.  + 1^.5  =  0 
Q-)  Vedi  la  mia  Nota,  Ueber  die  Transformation  der  algebraischen  Qleichungen  durch 
Covarianten.  Math.  Ajinaleii  Bd.  XXIX,  e  la  Memoria  del  dott.  Hilbert,  Ueber  cine  Darstel- 
langsweise  der  invarianten  Gebilde  im  binàren  Formengebiete.  Math.  Annalen.  Bd.  XXX. 
