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'  In  questa  Nota  mi  propongo  di  risolvere  il  problema:  Può  l'equa- 
zione(l)del  Cayley  ammettere  soluzioni  indipendenti  dalle 
flessioni  della  superficie  S?  Supponendo  cioè  che  dopo  ima  flessione 
la  superficie  S  acquisti  le  nuove  linee  di  cm-vatm-a 
.x'  —  cost  ìj  =  cost 
e  sia 
(3)  f/s^  =  e  dx"  +  g  dg-  =  e'  dx^     /  dy-  ' 
si  domanda  se  la  funzione  di  ^,  espressa  per  x\  y  potrà  nuovamente  soddi- 
sfare alla  equazione  del  Cayley 
V   '  — w —  ^ 
Dr 
t  Tale  questione  si  può  enimciare  sotto  foma  finita,  ricorrendo  ad  un 
teorema  di  Kibaucom'  sui  sistemi  oc  -  di  circoli  che  ammettono  una  serie  di 
superficie  ortogonali,  sistemi  che  chiamo  per  brevità  sistemi  normali  di 
circoli.  Ad  ogni  soluzione  j  della  equazione  (1)  del  Cayley  corrisponde  un 
sistema  normale  di  circoli  ortogonali  alla  superficie  S  (^)  e  se  immaginiamo 
la  S  flessibile  ed  inestendibile  e  il  sistema  di  circoli  invariabilmente  legato 
alla  superficie  S  diu-ante  la  deformazione,  il  problema  proposto  equivale 
all'  altro  : 
Un  sistema  normale  di  circoli,  ortogonali  alla  superficie  S, 
può  mantenersi  normale  dopo  una  flessione  di  S? 
1  Per  risolvere  questo  problema  cominciamo  dall' osservai-e  che  se 
ds-  =  edx-  +  2  fdxdy  -f-  gdy'^ 
è  l'elemento  lineare  di  ima  supeiiìcie  e  ^  è  una  funzione  quahmque  di  x,  y 
l'espressione  differenziale 
dx  dy- 
,    422).  (22) 
dy 
dove  ]  "  [  è  il  noto  simbolo  introdotto  dal  sig.  Christoffel  nella  teoria  delle 
forme  differenziali  quadratiche  (Journal  von  Creile  Bd.  LXX),  non  varia  can- 
(^)  V.  la  mia  Nota  2*  Sui  sistemi  ciclici  §  4,  Giornale  di  Battaglini,  voi.  XXU. 
