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due  fiinzioui  incognite  delle  rispettive  variabili  indipendenti  x,  y  ;  x\  ij  legate 
fra  di  loro  da  quattro  equazioni 
Fi  {x,  y,  x',  y',  p,  q,p',  q)  =  0 
F2  {x,  y,  S,  x\  y\  z\p,  q,p\  q)  =  0 
F3  (x,  y,  s,  x\  y\  /,  p,  q,  p\  q')  =  0 
F4  (x,  y,    x\  y\  z',  p,  q,  /,  q')  =  0, 
(2) 
dove 
12 
12' 
^'^ix'  '^~ly''^'  ~lx" 
n  Affinchè  2  =  (p  {x,  y)  sia  una  particolare  forma  della  funzione  s  che 
renda  le  (2)  compatibili,  si  richiede  che  eliminando  x,  y  fra  le  quattro  equa- 
zioni (2),  ove  si  è  fatto 
^  ^       ^      Dx  '  Dy 
le  due  equazioni  risultanti  per  /  : 
^  A  (x\  y\  s\  p\  q')  =  0 
\  B(^',/,/,y,r/)=:0 
ammettano  un  integrale  comune.  La  condizione  d'involuzione 
[AB]  =  0 
viene,  per  mezzo  delle  (2),  trasformata  direttamente  da  Backlund  nella  seguente 
(3)       [AB]  =  1 34  ;  [F,F  J  + 1 42  \  [F.Fs]^  *  23  (  [F,FJ  +  )  12  { [F3F 
+  113<[F,FJ+;i4|[F2F3]  =  0, 
dove  i  simboli  \  i  k  \ ,  [F;  F^]  hanno  il  significato  dato  dalle  formolo 
(a)  \ik\^ 
Ili 
Ix 
ìF, 
Ix 
-r  ■ 
13 
TtF, 
_  
13  ip 
1>'3 
l^i    ,  l'Pi 
ip 
DFft 
iq 
,lFk 
'  Dq 
r'3 
:^F, 
ix^         IX  ly 
l^i 
l^i 
-3 
111 
13 
ip 
iq' 
13 
in 
ip 
\lx' 
'p 
'/  ip'      \ly'  ^'^  13' J  iq'  ' 
13- 
II  caso  che  qui  esclusivamente  ci  interessa  è  quello  in  cui  la  (3)  con- 
tiene x\y',3\p',q'  soltanto  in  un  fattore  isolato  che  si  possa  sopprimere; 
allora  essa  è  per  3  una  equazione  a  derivate  parziali  del  2°  ordine,  che  defi- 
nisce le  infinite  forme  di  s  corrispondenti  a  soluzioni  del  sistema  (2).  Se  di 
più  le  (2)  sono  simmetriche  in  x,  y,  3,  p,  q,  ;  x',  y\  /,  g-',  la  /  soddisfa 
essa  stessa,  come  funzione  di  x ,  y\  alla  medesima  equazione.  In  tale  ipotesi 
