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le  forinole  (2)  definiscono  una  trasformazione  in  sè  medesima  della  equazione 
a  derivate  parziali  (3)  e  per  mezzo  di  esse,  nota  una  soluzione  particolare 
della  (3),  si  possono  trovarne  infinite  nuove  mediante  integrazione  di  equa- 
zioni differenziali  ordinarie. 
«  Ove  si  riguardino  y,  s  come  coordinate  cartesiane  ortogonali  di  un 
punto  dello  spazio,  le  (2)  definiscono  una  trasformazione  di  ogni  elemento 
piano  {a;,  y,  q)  condotto  pel  punto  {,:c,y,s)  normalmente  alla  retta  i  cui 
coseni  di  direzione  sono  proporzionali  a 
P,  'Z,  —  1  , 
in  ooi  elementi  {x' ,y' ,  s\p)\  q').  Se  si  considera  una  superficie  s^~-/'{x,y), 
la  trasformazione  (2)  fa  nascere  dai  suoi  od-  elementi  piani  una  tripla  infi- 
nità di  tali  elementi.  Solo  quando  la  superficie  s  =  f{a:,  y)  è  una  superficie  inte- 
grale della  (3)  è  possibile  distribuire  questi  oo^  elementi  in  oo^  serie  di  crJ 
elementi,  costituenti  ciascuna  una  superfìcie  ;  allora  la  supeilìcie  z  =  f{,i\  y) 
viene  trasformata  dalla  (2)  in  co'  nuove  superficie,  che,  nel  caso  qui  consi- 
derato della  simmetria  delle  (2),  appartengono  alla  medesima  classe. 
«  2.  Un  esempio  molto  interessante  di  tali  trasformazioni  di  un'  equa- 
zione a  derivate  parziali  in  sè  medesima  è  quello  che  il  sig.  Lie  (')  ha  de- 
dotto, per  la  equazione 
che  definisce  le  superficie  pseudosferiche  di  raggio  a,  dalla  costruzione  che 
io  ho  chiamato  trasformazione  complementare. 
«  Le  formole  (2)  relative  a  questo  caso  sono 
p{,c'  —  x)-hq(y'  —  tj)  —  {z'  —  s)=^0 
p'{x' —  x)  +  q'{y' —y)  —  {z' —  2)  =  {) 
pp'  -\-  q(l  =0 
{x  —  x'Y  ~h{y  —  y'f  +  {z  —  ; 
allora  la  (3)  si  riduce  appunto  alla  (4). 
«  La  trasformazione  di  ogni  superficie  pseudosferica  in  altre  oo'  tali  super- 
ficie data  dalle  formole  ora  scritte  fu  poi  generalizzata  da  Backlund  ('-)  col 
sostituire  alla  3^  di  queste  formole  l'altra  piti  generale 
pp'  +      +  1  —  K  |/1  t/l  +/'  +  <l'^  0 
(K  cost'«). 
«  Nella  presente  Nota  mi  propongo  di  far  conoscere  una  classe  analoga 
di  trasformazioni  in  sè  medesima  della  equazione  a  derivate  parziali  (I).  E 
sebbene  nelle  verifiche  da  farsi  sulle  successive  equazioni  (6),  (10)  si  possa 
prescindere  da  ogni  significato  geometrico,  pure  non  sarà  inutile  indicare  per 
quale  via  queste  formole  sono  state  stabilite.  Esse  non  sono  altro  che  le  for- 
(^)  Arcliiv  for  Matliematik'  og  Naturvidenskal>  Bd.  V.  (Zur  Thcorie  der  Flàchen  con- 
stanter  Kriimmung  III). 
(2)  Limds  Univ.  Arsskrift.  T.  XIX. 
