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mole  della  trasformazione  complementare  o  di  Backluud  per  le  superfìcie 
pseudosferiche  dello  spazio  di  Lobatschewsky  a  curvatura  costante  K= — 
Prendendo  per  elemento  lineare  di  questo  spazio  R 
la  equazione  a  derivate  parziali  (I)  definisce  appunto  in  K  le  superficie  a 
cm-vatura  costante,  il  P  membro  di  essa,  moltiplicato  per  ^ ,  rappresen- 
tando la  curvatura  velali  oa  della  superficie  s  —  z{x,  y)  ('). 
«  3.  Ricorrendo  alle  note  proprietà  della  rappresentazione  conforme  dello 
spazio  di  Lobatschewsky  sullo  spazio  euclideo,  che  si  ottiene  riguardando 
nella  (5)  x,  y,  z  come  coordinate  cartesiane  ortogonali  di  un  punto  di  quest'ul- 
timo spazio  (^),  troveremo  per  definire  analiticamente  la  trasformazione  com- 
plementare descritta  al  u.  8  M.  c.  le  formolo  seguenti  : 
l  Fi  =2)  (*■'  —  x)  +  q{y'  —  y)-^s^  Id  =  0 
Fa     /(a?'  —  x)-+-  q\y'  —  y)  —  ks  —  /  =  0 
^  Fa  =  pp'  +  (i(ì  —  k  ==0 
F4  =  {x—xY+{y'—yY+z'-+^^+2.kz"J=  0  , 
dove  li  è  una  costante. 
«  Possiamo  ora  facilmente  verificare,  prescindendo  da  ogni  significato 
geometrico  di  queste  formolo,  che  esse  definiscono  una  trasformazione,  della 
specie  sopra  descritta,  della  equazione  a  derivate  parziali  (I)  in  sè  medesima. 
Se  infatti  pel  sistema  (6)  costruiamo  le  espressioni  \iìi\^  [PjFJ  definite 
dalle  (a)  (/!?),  troviamo  in  primo  luogo  : 
[FiF,]  =  (/tf^  — 1)^,  [F,F3]=/  +  r/  +  /^S  [FiF4]-=0 
[r,F3]  --0  ,    [PaFJ  =  2(l— [F3F4]  =  2(1-/^^).^,  , 
talché  la  condizione  d'involuzione  (3)  diventa 
(7)   (ìe—X)z  ;34(  Mv''^cf+k^)  142|  +2(1— A'^)^ +2(1— A^)^^  |31|  =0. 
B  Abbiamo  poi  : 
134( - 2ri^^{z^kd)-\y-y' |.4-2s|^'(^'-^)-^'(y'-^/)+(??'-i^j/)  {^^kz^^  - 
—11(1  ^^A^-^kz')+x—x'^i^ 
)42;=    2 1  {fi+kq)  {x'—x)  —  (/+  kp)  {y  —  y)~h{p'q—pq'){z  +  k2')  | 
)31(-      \p'{y'-y)-<l{x'-x)]^ .  [rl-s') 
;i2(=  r{x  —  x'){q'  +  kq)  +  s  |  {q'  +  kq)  [y  —  y')  -  {p' kp)  (x  -  x')  | 
—  iiij-y')  ip'-^hp) 
(')  Veggasi  il  §  I  della  mia  Memoria  inserita  nel  Volume  IV,  serie  4%  CI.  se.  fis.  ecc. 
degli  Atti  della  R.  Accademia. 
(^)  Cf.  n.  1,  M.  c. 
