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e  la  (7)  prende  per  ciò  la  forma 
(8)  A  (r^  —  «2)  +  Br  +  Cs  +     +  E  =  0 . 
f  Calcolando  effettivamente  i  coefficienti  A,  B,  C,  D,  E,  facendo  uso 
delle  formole  di  trasformazione  (6)  per  porre  in  evidenza  in  ciascuno  di  essi 
il  fattore 
A==2|y(/-^)-r/(^'-^)|,  . 
risulta  : 
J)^{l—k^)s{l+if).X,    E  =—  (  1  -^    +  q^)  {k^  + 
«  Sopprimendo  quindi  dalla  (8)  questo  fattore  2,  che  non  può  essere 
nullo,  troviamo  che  s  deve  soddisfare  alla  equazione  della  forma  (I) 
^  ^     "  {l^p^+q^Y  {l-^if^q^f  l+Z+f     1— ^' 
B  D'altronde  le  formole  (6)  essendo  simmetiiche  in  x,  ij,  s,p,  q  ;  x,  y' ,  /, 
j/,  risulta  dimostrato  che  esse  danno  una  trasformazione  in  sè  medesima 
della  equazione  (9).  È  però  da  osservarsi  che  la  trasformazione  è  reale  sol- 
tanto, a  causa  dell'ultima  (6),  quando  A'-k^l,  ossia,  per  usare  il  linguaggio 
geometrico,  solo  per  le  superficie  dello  spazio  di  Lobatschewsky  a  curvatm-a 
relativa  costante  negativa  (Cf.  n.  8,  M.  c.)- 
«  Non  tralascieremo  di  notare  una  conseguenza  delle  ricerche  ai  §§  III, 
IV,  M.  c.  contenuta  nel  teorema  : 
li  S e  5'  =  /(^,  ?/)  è  una  particolare  superficie  S  integrale 
della  (9),  le  oo^  superficie  S' derivate  dalla  S  per  mezzo  della 
trasformazione  (6)  fanno  parte  di  un  sistema  triplo  orto- 
gonale ed  hanno  per  traiettorie  ortogonali  un  sistema  di 
circoli. 
«  4.  Come  le  formole  (6)  esprimono  analiticamente  la  trasformazione 
complementare  per  le  superficie  pseudosferiche  dello  spazio  di  Lobatschewsky, 
così  le  altre  più  generali 
(10) 
^x=lj{a^ —  x)  +  q{y' —  y)-^z 
F,  =  /(^'_^)  +  r/(/-y)-/i 
■k^ 
=  0 
=  0 
-f-  qi  —  k  —  cos  (T  ]/  1-Arf-^q^  ^/X-^f'-^cC^  =  0 
^{x'  —  xY-\-  {y'  —  yf  +    +    +  2kzs'  =  0  , 
dove  a  è  un  angolo  costante  arbitrario  rappresentano  per  queste  medesime 
superficie  la  trasformazione  di  Bàcklund. 
Rendiconti.  1888,  Vol.  IV,  1°  Sem.  58 
