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K  Se  C  è  ne^atiTa.  diciamo 
e  poniamo 
fl-     /,'■-  -f- 1 
potremo  riguardare  le  superficie  della  classe  (I)  come  immagini,  nello  spazio 
euclideo,  delle  superficie  a  curvatm-a  assoluta  =  —  1,  esistenti  nello  spazio 
^     Per  ogni  tale  supei^ficie 
a  cmTatura  costante  K 
a- 
2  =  3  {x,  y) 
l'espressione  differenziale 
^  {dx'     dif     ds") , 
introducendo  i  parametri  ii,  v  delle  linee  di  cmTatura,  si  riduce  alla  forma 
cos-  6  dv?  +  sen^  «  dv'^, 
dove  B  è  un  integrale  dell'equazione  a  derivate  parziali 
(12)  ^  —  ^  =  sentì  cose. 
B  Inversamente  ad  ogni  integrale  6  di  questa  equazione  conisponde  una 
superficie  S  della  classe  (I)  che  si  determina  nel  modo  seguente. 
Posto 
z 
si  determinerà  fl»  dalle  equazioni  simultanee 
 —  =  —         cp  _  tg  e  h  cot  (9  H- 
(13) 
^  sen  0  cos  tì    .  > 
■  - — = — tgtì  
A'^sen-tì 
0 
k^-hl 
sen  tì  cos  6 
fk'-hl 
cot  0  
■  tg  61  h  cot  e  
-(-V 
1  /^\- 
^  cos'-Q\Dm/       sen'-tì  \~òv  ! 
le  quali,  in  vii-tù  della  (12),  formano  un  sistema ////m'tote?;?^/?^^  integi'abile. 
Deteiminata  3  in  funzione  di  u,  v,  si  calcoleranno  x,  y  dalla  relazione 
dx-  +  (^y-^  =  4  (cos2  0  (^^2  _^  gen'-  e  (/y^)  ^         +^  y  V 
