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En  vertu  des  hypothèses  la  sèrie  Vi  +  ^2  +  ^3  +  • 
termes  ont  méme  signe.  Dono 
KVi-\-  KV2-\  Vn 
est  divergente,  et  ses 
lim- 
puis 
lim 
+  ^2  H  \-Vn 
a\S\-^  a%^%-\  h 
lim  Xy, 
e  On  peut  énoncer  la  réciproque  dn  théorème  (1)  toutes  les  fois  que 
le  rapport  des  nombres  (2)  reste  différent  de  zero,  et  que  la  différence  des 
mémes  nombres,  préalablement  divisée  par  Sn-^i ,  croìt  à  l'infini  sans  osciller. 
En  particulier  on  peut  écrire,  pour  r  >  — 1 , 
lim 
a\-\-aì-\  h  an 
n 
que,  si  la  fonction  cin 
nr^  an  est  égale  en  mo- 
r+1 
si  l'un  des  deus  membres  existe.  Il  en  resulto 
est  asymptotique  à  kn'' ,  la  fonction 
y  e  n  n  e  à  k ,  et  réciproquement. 
"  Nous  allons  maintenant  démontrer  que,  si  une  fonction  f{n), 
toujours  finie,  admet  une  valeur  moyenne  constante  k,  la 
somme  des  valeurs  de  la  fonction,  étendue  à  tous  les  divi- 
seurs  de  n,  est  asymptotique  à  klogn.  Soit,  en  effet, 
A00  =  /(«)  +  /(^)  +  /(^)  +  -.-  , 
a,b  ,  c  , . . .  étant  les  diviseurs  de  n  .  On  sait  que 
/i(i)+A(2)  +  ---+A0O  = 
/(2)  + 
/(3)  + 
Les  valeurs  absolues  de  f{n)  ne  surpassant  pas,  par  hypothèse,  un  certain 
nombre  fise,  il  en  est  de  méme  de  la  différence 
1 
A(i)  +  A(2)  +  ---  +  A00  -  /(i)  +  ^/(2)  + 
D'après  (1)  la  relation 
U^/(l)  +  n2)  + 
entrarne 
Donc 
lim 
/(l)  +  |/(2) 
=  k. 
lte^-(i>  +  A(2)  +  ---  +  AW^,. 
n  log  n 
En  particulier,  si  /  {n)  prend  les  valeurs  1  ou  0 ,  suivant  que  n  possède  ou 
non  une  propriété  donnée,  on  volt  que  le  nombre  des  diviseurs  de 
doués  d'une  certaine  propriété,  est  asymptotique  au  loga- 
ritbme  de  n ,  multiplié  par  la  probabilité  qu'un  nombre 
