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entier,  pris  au  hasard,  jouisse  de  la  méme  propriété.  Par 
exemple:  «Le  nombre  des  diviseurs  de  n,  dépourvus  de  divi- 
seurs  carrés,  est  asymptotiqne  à  —  log 7^  » .  Ce  théorèrae  est  dù 
à  Gauss. 
"  Si  l'on  représente  par  w  {n)  le  nombre  de  diviseurs,  dont  il  vient  d'étre 
question,  la  dernière  proposition  revient  à  ceci  : 
^^^o^{l) in)  _  6 
n  log  a  71^  ■  ' 
On  en  déduit,  en  ver  tu  du  théorème  (1) , 
«(l)  +  |a)(2)  +  ...  +  ia,(^)  3 
lim   =  — • 
(log  ìlY  n'' 
Or  on  sait  que,  Q  {n)  étant  le  nombre  des  diviseurs  de  n,  on  a 
0  (n^)  =  co  (a)  +  «  (^»)  +  (»  (c)  -I  . 
Conséquemment 
l-^^(l)  +  ^(4)  +  ---  +  ^0^^)_  3 
n  (log  nf  71^ 
Autrement  dit:  «Le  nombre  des  diviseurs  de       est  asympto- 
3 
ti  que  à  -^(logw)^". 
«  Le  théorème  (1)  permet  d'écrire,  en  partant  de  la  dernière  relation, 
e{\)-{-\e{i)^.-.  +  \e{n^)  \ 
(log  ny 
On  sait,  d'autre  part,  que 
6^n)  =  e{a')-^6{ì/-)-\-e{c'')-\  . 
Donc 
n  (log  nf  Ti^ 
Il  en  resulto  que  le  carré  du  nombre  des  diviseurs  de  n  est 
asymptotique  au  cube  du  logarithme  de  n ,  divisé  par  . 
«  Plus  généralement,  il  est  facile  de  voir  que,  si  l'on  construit  une  suite 
de  fonctions,  /" ,  A  ,  A  ,  /s ,  •  •  ■ ,  d'après  la  loi 
A.iOO  =  A(«)  +  ^(^)  +  A(^)  +  ---, 
en  supposanL  que  la  fonction  f  {ii)  soit  en  moyenne  égale  à  k  ,  la  fonction 
k 
fr  {il)  est  asymptotique  à        (log  n)''' .  On  retrouve  les  résultats  pré- 
cédents  en  supposant  que  f{n)  soit  1  ou  0  suivant  que  n  est  divisible  ou 
non  par  des  carrés,  autres  que  l'unite,  et  en  observant  que 
{n)  =  «  (n) ,  A  (n)  =  e  (n^)  ,  f,  {n)  =  0'  (n) ,  •  •  ■ . 
