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"  Il  est  aisé  de  reconnaìtre  que  les  conditions  restrictives  contennes  dans 
l'énoncé  du  théorème  (1)  ne  sont  pas  absolument  nécessaii-es.  Si  l'on  établis- 
sait  le  minimum  de  conditions  on  parviendi-ait  du  méme  coup  à  ouvrir  une 
voie  large  et  feconde  pour  l'étude  des  nombres  premiers.  Bornons-nous  à  faire 
observer  que,  pour  des  formes  convenables  de  /  (n) ,  que  nous  cherchons 
actuellement  à  déterminer,  on  peut  écrire 
1-    /  (P^)  log 7^1  +  /  (;^2)  log 7^2  H  h  f(p.)  log  j^v  -, 
Pi  1P2  -,  ■  •  •  1  ,  étant  les  nombres  premiers,  non  supérieurs  à  n. 
Pour 
^(^^==l^'7l^'^'^^^^'--- 
la  relation  (3)  nous  dit  que,  si  l'on  considère  les  nombres  pre- 
miers, non  supérieurs  à  n:      Leur  u ombre  est  asymptotique 
n 
2°  La  somme  de  leurs  inverses  est  asymptotique 
log  n 
àloglog^z.  3°  La  somme  de  leurs  logarithmes  est  asympto- 
tique à  n .  4°  La  somme  des  carrés  des  mémes  logaritbmes 
est  asymptotique  à  nlogn;  —  etc. 
«  Le  théorème  de  Gauss,  signalé  plus  haut,  se  présente  comme  cas  par- 
ticulier  d'une  autre  proposition,  qu'on  rencontre  dans  l'étude  de  la  fonction 
^w=/(«,f)+/(*,-^)+/(.,t)+--. 
f  {i ,  /)  désignant  une  fonction  fìnie  du  plus  grand  commun  diviseur  de  i 
et  j .  On  remarquera  d'abord  que,  si  l'on  pose 
=  +  +  A  (.)  +  •••, 
l'inversion  de  cette  égalité  montre  que  la  valeur  absolue  du  rapport  de  /_i  {n) 
à  B  {n)  ne  surpasse  pas  la  valeur  absolue  de  f{n).  Dès  lors,  si  l'on  tient 
compte  de  la  relation  évidente 
n 
^fii^  j)  =  \J]U  (1)  +  [Iju  (2)  +  \l 
V-i  (3) 
on  peut  affirmer  que  la  différence 
n 
est  inférieure,  en  valeur  absolue  et  à  moins  d'un  factem*  Constant,  au  nombre 
-^|0(i)  +  n2)  +  ---  +  n^o|+;^|«(i)+|n2)  +  ---+;^«(^)| 
Or  on  sait  que 
ìim—  ■  H  L^-^  =  2  lim'  7:;  r-  =1, 
n  log  il  (log  n)'- 
