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Donc 
n 
1™         .y) =/-.  (1) +1 A  (2)  + 1  lu  (3)  + .  ■  • . 
D'autre  part,  le  premier  membre  de  cette  égalité,  limite  aus  coiiples  de 
valem-s  de  /  et  j  qui  donnent  ij^n,  représente  évidemment  la  somme 
F  (1)  +  F  (2)  -1  F  (n)  .  En  conséquence 
Cola  étant,  ou  sait  que,  pour  tonte  valem-  tìxe  de  / ,  le  coefficient  de  /Li  (t) 
est  asymptotique  à 
_log;^_  — ^loge_C  +  -j- 
Il  en  résulte,  pour  n  infìiii, 
i=n 
1=1 
On  voit  donc,  par  comparaison  avec  (5) ,  que 
n 
F(l)  +  F(2)  +  ---  +  F(.)^  J_y 
log  1  +  log  2  H  h  log  n  n'Z^'^''^^- 
Si,  par  exemple,  f{n)  est  1  ou  0,  suivant  que  n  jouit  ou  non  d'une  propriété 
donnée,  on  peut  dire  que  :  «Le  nombre  des  décompositions  de  n 
en  deux  facteurs,  dont  le  plus  grand  commun  diviseur  pos- 
sède  une  certaine  propriété,  est  asymptotique  au  loga- 
rithme  de  n ,  multiplié  par  la  probabilité  que  le  plus  grand 
commun  diviseur  de  deux  nombres  quelconques,  pris  au 
hasard,  soit  doué  de  la  méme  propriété".  Après  une  simple 
transformation  de  la  sèrie  contenue  dans  le  second  membre  de  (5)  on  peut 
dire  que:  «Le  nombre  des  décompositions  de  n  en  deux  facteurs, 
admettant  pour  plus  grand  commun  divise ur  un  terme  de  la 
suite  Ui  ,  Uz ,  Us ,  ... ,  est  asymptotique  à 
6/1,1,1,  \i 
«  Signalons,  pour  finir,  quelques  intéressantes  propriétés  de  ces  fonctions 
F  (n) .  Si  l'on  convient  do  prendre  f{a;)  =  0,  lorsque  a;  n'est  pas  un  nombre 
entier,  on  peut  écrire,  au  lieu  de  (4) , 
