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On  dédiùt  de  là,  cornine  d'habitiide, 
1  1  i 
où  I/'  est  ime  fonction  qiielconque,  douée  de  la  propriété  ip(i)ip  (  J)  =  ìp  (/J) 
pour  les  valeurs  entières  de  la  variable.  Posons 
Les  propriétés  de  la  fonction  co  conduisent  sans  peine  au  résultat  siiivaut  : 
co(?)lp(i)  (T/ 
I- 
Donc 
Par  exemple,  en  faisant  r  —  2  et  i/^  1 ,  on  trouve  que,  si  P  (m)  est 
le  nombre  des  décompositions  de  n  en  deus  facteurs,  dout 
le  plus  grand  commnn  diviseur  appartienne  aii  sjf stòme 
Ui  ,U9,ih,...,  on  a 
F(l)  +  ^'(2)  +  ^F(3)  +  .^.=|(i  +  i  +  ^+...). 
Si  xp  (n)  =  sin  — - ,  on  troiive  que  le  quotient  des  séries 
Li 
F(l)-ip(3)  +  ÌF(5)-...,4+^+-^+..., 
est  indépendant  du  système  Sa  valeur  est 
^(0,915965594. . 
Entin,  eu  supposant  que  \p  (n)  soit  1  ou  — 1  ,  suivant  que  u  est  compose 
d'un  nombre  pair  on  d'un  nombre  impair  de  facteurs  premiers,  égaux  ou  iné- 
gaux,  on  trouve  que  la  somme  de  la  serie 
F(l)-ip(2)-^F(3)  +  Ì3F(4)-^F(5)+^P(6)  
2 
est  égale  aux  -  de  la  somme  des  invcrses  des  quatriòmes  puissances  des 
nombres  du  système 
Matematica.  —  Sur  les  Sijstèmes  (le  nombres  eiitlers.  Nota 
di  E.  Cesàro,  presentata  dal  Socio  Cremona. 
«  Considérons  un  système  Sì  de  nombres  entiers  et  positifs.  Soient  «1,  «2,  «3 , . . . 
ces  nombres,  rangés  par  ordre  de  grandeur  croissante.  Soit  iì{n)  =  1 ,  si  «  ap- 
partient  à  ii,  et  Sì{a)  =  i)  dans  le  cas  contraire.  Si  l'ou  pose 
o(l)  +  i2(2)  +  .Q(3)+  .  .  .  -^n{n)  =  nu^,,, 
lÌE.NDICO.NTI.  1888,  VOL.  IV,  1"  Sciu.  '  5!J 
