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«  Il  est  assez  remarquable  qne,  malgré  les  variations  illimitées  qii'on 
petit  faire  subir  à  i3 ,  la  constante  A  ne  varie  d'un  système  à  l'autre  qu'entre 
des  limites  fort  rapprochées.  On  sait  quo  sa  valeur  est  |/27r  lorsque  les  nom- 
bres  f  sont  tous  égaux  à  l'unite.  Donc  A^|/27r.  D'autre  part 
1  ->«SA>£"  ^  =,^Um  J_  1 1  log  (l  +})  -  , 
d'où 
log 
^<.'i"i('+Ì  +  5  +  ---+2l^-Ì'°'")  =  '"''  +  l'' 
C  étant  la  constante  d'Euler  0,5772...  En  résumé 
2,5066  ...=  t/2^  ^  A  <  2/"^  =  2,6691  .. . 
«  Portons  SUI"  une  droite,  à  partir  d'un  point  fìxe  0  ,  et  en  sens  con- 
traires,  les  distances  0P  =  y2/T,  0Q  =  2e  .  Tonte  valeur  de  A  peut  étre 
représentée  par  la  distance  de  0  à  un  point  de  la  circonférence  décrite  sur 
le  diamètre  PQ,  le  point  Q  étant  considéré  comme  inaccessible.  Les 
constantes  relatives  à  deux  systèmes  complémentaires  représentent  les 
longueurs  des  segments  déterminés  par  0  siu-  une  des  cordes  qui  y  passent  ; 
car,  si  i;„  et  B  sont  ce  que  deviennent  f„  et  A  pour  le  complémentaire 
de  i2 ,  on  a 
HTZn.  +  ^  n{l  —  US,,)  -}-  ^  ^ 
1  ,  1  I  ^  '  2/^+1  ' 
'^  +  2  ^^-+2 
et  la  formule  (1)  donne 
oa  co 
2  -  log  AB  +^2^  ^     "~      ^'^^  +     ~  ^''') 
11 
d'où 
AB  =  -(/8.T5<=  =  6,0905  ... 
<i  La  formule  (1)  se  prete  à  une  fonie  d'autres  développements,  plus 
ou  moins  curieux.  Il  est  aisé  de  reconnaìtre  que,  si  l'on  pose 
2  +  2      ^  +  2  ''-ì 
on  peut  écrire 
1  -  log  A  =  Y^^  I     +  i)s,,  -  (^S„  +     +      +  S.,  ^)  | .  (2) 
