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D'ailleiirs  S„  ne  diffère  pas  de 
-    k  ■  ■  •     -  ^  (  •  -  -  V 
On  trouve  donc,  par  yiibstitution  daiis  (2), 
2e^"     \-2'^'-'  — 1  ^ 
4'-/ 
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en  posant,  ponr  abréger, 
'  ■  '  ■  '  +^  +  .-. 
«/  in   "T~      in  ~r  ,,,  ,„  . 
/Il  Ili  /I-i  «4 
Eli  d'autres  termes 
,        l  -,  :ìi  127 
'iC-  S+  S  s,;+  S.-... 
^  __  2^)  24     ■     UGO    •      S()(i4  :ioT20 
Il  serait  facile  de  rendre  le  derniers  calculs  parfaitement  rigoureux  en  iu- 
troduisant  Texpression  du  reste  dans  les  séries  semi-convergentes 
qui  y  figurent.  Nous  uons  bornerons  à  faire  remarquer  que,  quelque  soit  le 
système  Si ,  la  constante  qu'il  défìnit  est  supérieure  à 
;  ^  "l  2  .-J  4 
2o 
Par  exemple,  si  Sì  est  le  système  des  n  o  m  b  r  e  s  p  r  e  m  i  e  r  s  2, 3, 6,7,11,1 3,.... 
on  a 
A  >2e°''""'-  =  2,6192...  . 
Du  reste,  la  formule  (3)  permet  de  calculer  A  avec  une  très-grande  ap- 
proximation. 
"  Le  considérations  qui  précèdent  pourraient  étre  appliquées  à  un  sy- 
stème quelconque  de  nombres,  à  densité  variable.  Nous  reviendrons  proba- 
blement  sur  ce  sujet;  mais,  pour  le  moment,  uons  allons  faire  voir  que, 
tout  en  restant  dans  le  champ  des  nombres  entiers,  il  y  a  moyen  de  ratta- 
cher  cetle  étude  à  celle  de  certaiues  fonctiones,  qui  sont  de  la  plus  haute  im- 
portance  dans  l'analyse.  Remarquons,  avant  tout,  qn'il  suffit  de  changer  n 
en  n-\-  x  dans  les  formules  initiales  pour  obtenir,  par  les  mémes  procédés, 
la  formule 
e 
où 
^1-+-.'/-— (c  |«  1+  z.j"  '-^  £3«.i+  •■•) 
^(•^)=- — ,  > —  '  ^.u-)=/  )^i-.<ni)'s, 
1 1  -+- ''"^^ 
f  '  ^^^  =  (^'  +  ^'  +  2)^'^^0+7T:7)~1- 
