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On  voit  qiie,  pour  une  valeur  donnée  de  le  minimum  de  k{x)  se  prodnit 
lorsque  les  nombres  f  sont  tous  égaux  à  l'unite.  On  a  donc 
A      =      (l+.-)(2  +  .)(3+.).--U  +  g)        ^  . 
Si  l'on  privait  iì  de  tous  ses  éléments,  A(^)  tendrait  vers  sa  plus  grande 
valeur.  En  conséquence 
1+z-log  \  (l+..)-U  S  >  (^c  +  ^)  ^  jlog  (l  +  ^)  -  T^j' 
d"où 
pourru  qne  l'on  pose,  pour  abréger, 
1  (  \     o         2       ,  2         2       ,  2 
^'^"^^-Y^'-^l-^^-^l  • 
Par  exemple 
2  1/2^  A  (I) 
Du  reste  on  peut  écrire 
2,8284  . . .  =  2  t/2  ^  A  1  ^  )<       =  2,9364  . . 
A  /  \        -(«■+2)  ^-T7Z 
oìi  6  est  une  fraction  proprement  dite,  dont  la  valeur  dépend  de  x  et  de  ii 
On  Toit  qne,  x  croissant  à  l'intìni,  l'intìuence  de  i3  sur  k.{x)  tend  à  disparaìtre. 
«  Pour  tàcher  d'obtenir  l'espression  de  k{x),  relative  à  un  système  quel- 
conque,  on  est  d'abord  porte  à  étudier  la  serie 
1- — ctT]  2 — 2ca2  ,3 — 3c53 
Le  produit  du  terme  general  par  le  rang  du  terme  tend  vers  1  —  m.  Pour 
que  la  serie  soit  convergente  il  faut  donc  que  les  nombres  «i ,  «2 ,  a-ì-,  •  •  • 
soient  iiifinimeiit  fréqiients  parmi  les  nombres  entiers.  En  particulier,  la 
serie  (f  est  convergente  lorsque  tend  vers  sa  limite  1  sans  osciller  ;  mais 
alors  le  système  correspondant  n'offre  aucun  intérét,  parcequ'il  finit  par  con- 
tenir  tous  les  entiers  supérieurs  à  un  certain  nombre.  Quoiqu'il  en  soit,  si 
la  serie  (p  est  convergente,  on  peut  definir  une  fonction  analogue  à  la  fon- 
ction  r  par  l'égalité 
G  (1  +  x)  =  lim  ^'"'^ 
et  les  formules  précédemment  établies  permettent  d' écrire 
,  ,  .      A  (0)  e'^?'^^ 
