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K  Le  reciprocità  nulle  birazionali  tono  l'oggetto  di  questa  Nota,  nella 
(^uale  dopo  avere  stabilito  alcuni  teoremi  generali,  costruisco  delle  reciprocità 
nulle,  quelle  in  cui  le  superficie  <P,  che  nel  primo  sistema  corrispondono  alle 
stelle  di  piani  del  secondo,  sono  delle  superficie  m  o  n  o  i  d  a  1  i ,  se,  allargando 
ima  denominazione  già  in  uso,  per  superficie  monoidale  si  convenga  indicare 
quella  superfiicie  che  ha  in  comime  con  ogni  raggio  di  ima  congruenza  di 
1°  ordine  un  solo  punto  non  singolare  per  la  congruenza 
^  1.  Il  prodotto  di  una  reciprocità  bi razionale  nulla  K  e 
di  una  correlazione  polare  nulla  r  è  una  corrispondenza  bi- 
razionale  dello  spazio, nella  quale  due  punti  corrispondenti 
sono  su  di  un  raggio  del  complesso  lineare  (F),  dovuto  alla 
correlazione  r. 
K  E  inversamente  :  Ogni  corrispondenza  bi  razionale  dello 
spazio,  nella  quale  le  rette  che  uniscono  punti  corrispon- 
denti costituiscono  un  complesso  lineare  (T),  combinata  con 
la  correlazione  polare  nulla  F  dovuta  al  complesso,  dà  come 
prodotto  una  reciprocità  bi  razionai  e  nulla. 
«  I  due  teoremi  sono  seuz'  altro  evidenti.  Più  generalmente  : 
Il  prodotto  di  una  reciprocità  bi  razionale  nulla  K  eoa 
una  correlazione  ordinaria  jT  è  una  corrispondenza  birazio- 
nale  dello  spazio,  nella  quale  due  punti  corrispondenti  sono 
reciproci  rispetto  alla  F;  e  inversamente. 
"  Sicché  la  determinazione  delle  reciprocità  birazionali 
nulle  dello  spazio  può  farsi  dipendere  da  quella  delle  cor- 
rispondenze birazionali  in  cui  due  punti  corrispondenti 
siano  reciproci  rispetto  ad  una  correlazione  ordinaria,  o 
anche,  in  particolare,  da  quelle  corrispondenze  birazionali 
che  diano  origine  ad  un  complesso  lineare  (-). 
«  Delle  corrispondenze  birazionali  della  prima  specie  daremo  ora  vari  tipi. 
"  2.  In  due  sistemi  S,  S'  dello  spazio  si  abbiano  due  stelle  di  rette 
riferite  l'una  all'altra  con  ima  corrispondenza  birazionale  A',  nella  quale  ad 
un  fascio  di  raggi  della  prima  stella  corrisponda  nella  seconda  un  cono 
(•)  L'esistenza  di  queste  infinite  reciprocità  nulle  che  verremo  a  costruire,  mostra 
essere  inesatta  la  dimostrazione  di  Lazzari,  il  quale  nella  sua  Nota,  Su  le  reciprocità 
birazionali  nello  spazio  (Rendiconti  della  K.  Accademia  dei  Lincei,  voi.  H,  1886,  pag.  78) 
cercò  mostrare  che  le  reciprocità  nulle  di  grado  superiore  al  1",  debbono  da  essere  di  3°  grado. 
Eegge  invece  il  teorema  (già  dimostrato  dallo  Sturm  nella  Nota  citata  a  pag.  474)  che  nel 
piano  vi  è  una  sola  reciprocità  birazionale  nulla,  che  è  di  2"  grado. 
(2)  Di  tali  corrispondenze  quelle  involutorie  che  danno  origine  al  complesso 
lineare  contato  una  sola  volta,  furono  già  ottenute.  V.  le  mie  Note  pubblicate  in  questo 
voi.  a  pag.  207  e  277.  Sicché  una  prima  famiglia  di  reciprocità  birazionali  nulle  viene  ad 
essere  detcrminata  da  tali  corrispondenze. 
