—  586  — 
Un^/ii"' . . .  Ar°''-  che  proietta  da  0  la  d,  sicché  le  superfìcie  (P  sono  delle 
0),.^,  =  0"/i/....AAC„+, 
e  analogamente  le  (P'  sono  delle 
"  Ai  raggi  fondamentali  h  corrispondono  nella  corrispondenza  K  gli  stessi 
coni  della  stella  0'  che  ai  raggi  h  corrispondono  nella  A',  e  questi  coni  insieme 
al  piano  m'  contato  due  volte  ed  al  cono  U'n+i  formano  la  Jacobiana  delle 
superficie  <P'. 
n  Analogamente  si  determina  la  Jacobiana  delle  superficie  CP. 
«Vi  sono,  in  generale,  2{n-\-2)  punti  uniti  nella  corrispondenza  K. 
Essi  sono  i  punti  in  cui  la  curva  generata  dalle  due  stelle  0,  0'  (^)  incontra 
la  superficie  luogo  della  correlazione  r. 
«  3.  Vogliamo  ora  estendere  questi  risultati  al  caso  in  cui,  invece  di  due 
stelle  0,  0',  si  avessero  più.  generalmente  negli  spazi  S,  S'  due  qualsiansi 
congruenze  di  1"  ordine  riferite  fra  loro  birazionalmente. 
B  Per  brevità  di  linguaggio  diremo  che  una  congruenza  Q  di  1°  ordine 
è  di  P  0  di  2*^  0  di  3^  specie,  secondo  che  essa  è  costituita  dalle  rette  di 
una  stella  0,  o  da  quelle  appoggiate  ad  una  retta  e  ad  una  curva  razio- 
nale che  abbia  ,(i  —  1  punti  sulla  ci  (-),  o  dalle  corde  di  una  cubica 
gobba  ^3 ,  sicché  la  classe  a  della  congruenza  nel  primo  caso  è  0,  nel  secondo 
è  nel  terzo  é  3;  e  il  numero  delle  rette  della  congruenza  appoggiate  a 
due  rette  dello  spazio  è  ff-j-l,  avendo  e  i  valori  accennati  nei  singoli  casi. 
«  Ciò  posto,  siano  date  negli  spazi  S,  S'  le  congruenze  Q,  Q'  di  1°  or- 
dine e  di  classe  e,  g'  rispettivamente,  e  siano  esse  riferite  fra  loro  con  cor- 
rispondenza birazionale  A',  nella  quale  ad  ogni  superficie  della  congruenza  Q' 
costituita  da  raggi  appoggiati  ad  una  retta  arbitraria  dello  spazio  S'  corri- 
sponda nella  congruenza  Q 
se  la  Q  é  di  prima  specie 
»    1  1  n   fl  seconda  » 
lì    n  K  n   n  terza       »  (■^) 
in  modo  che  due  qualunque  di  queste  superficie  abbamo  in  comune,  oltre  i 
raggi  fondamentali  h  e  le  direttrici  della  congruenza  Q,  cr'  -[- 1  raggi  variabili. 
K  Analogamente  nella  corrispondenza  A'  alle  superficie  costituite  dai  raggi 
(')  Vedi  Cremona,  Su  io  trasformazioni  razionali  nel  piano.  Giornale  di  Matema- 
nntiche,  voi.  III. 
(2)  In  generale  la  J|i  è  gobba;  ma  può  anche  trovarsi,  in  casi  particolari,  in  m\ 
piano  TI,  avendo  allora  per  punto  (fx—ì)-plo  il  punto  {dn). 
(3)  n  in  quesito  caso  è  pari. 
una  superficie    F„  =  0"  hi^^ . . .  hy'^r 
0    »         "         F„  =  (^T  ^,,"-T       . . .  hr""'- 
0     "  y  F„  =  ^2  /j^ai  /^^a,. 
