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della  congruenza  Q  che  si  appoggiano  alle  singole  rette  dello  spazio  S,  cor- 
rispondano nella  Q'  superficie  F'  =  A'i^i . . .  k^'^ .  Queste  superficie  saranno  dello 
stesso  ordine  n  delle  superficie  P,  e  avranno  in  comune  oltre  i  raggi  fonda- 
mentali ki...ks  (e  oltre  le  direttrici  cl\^.!  multiple  secondo  /  e  n'  —  y', 
il 
0  oltre  la       multipla  secondo  —  ,  se  la  Q'  è  di  2^  o  di  'ò^  specie) 
Ci 
raggi  variabili. 
«  Ogni  raggio  fondamentale  ìm  (o  ki)  avrà  per  corrispondente  nella  K 
una  superficie  di  ordine  (o  della  congruenza  Q'  (o  della  Q)  ;  come  ad 
ogni  cono  di  una  delle  due  congruenze  che  abbia  il  suo  vertice  su  una  diret- 
trice OT-pla  per  le  F  (o  per  le  F')  corrisponderà  nell'  altra  congruenza  una 
superficie  di  ordine  m. 
B  Variando  il  punto  nella  direttrice,  queste  superficie  formano  un  fascio 
se  la  direttrice  considerata  appartiene  ad  una  congruenza  (Q  o  Q')  di  2^^  specie; 
formano  invece  un  sistema  d' indice  2  se  la  congruenza  ora  accennata  è  di 
3^  specie. 
«  Segando  le  due  congruenze  con  due  piani  ^r,  n  rispettivamente,  e 
riguardando  come  corrispondenti  le  tracce  su  tali  piani  di  due  raggi  che  si 
corrispondano  nella  A',  si  viene  ad  ottenere  una  corrispondenza  birazionale  % 
di  grado  ìi  fra  i  piani  tt,  n\  la  quale  in  n  ha  per  punti  fondamentali  mul- 
tipli secondo  «i ...  cc^  le  tracce  dei  raggi  Ai , . . .  A^  e  per  punti  fondamentali 
semplici  le  tracce  dei  e'  raggi  della  Q  che  nella  A'  corrispondono  ai  o'  raggi 
della  Q'  giacenti  in  n . 
»  Ulteriormente  se  la  Q  è  di  2="  o  di  3^  specie,  le  tracce  delle  sue  diret- 
trici su  TX  sono  punti  fondamentali  per  la  7,  multipli  rispettivamente  secondo 
l'ordine  di  multiplicità  di  tali  direttrici  per  le  superficie  F,j.  Ne  segue  che 
2a -{- ff' =  3  (;^ — 1)  se  la  Q  è  di  l-"^  specie 
0  che  la -\- y -\- —  j/) -|- =  3  (/i  —  1)  »  «  1  »  2^  » 
0  che  Iti g' =  ''ò{ii  —  1)  »       »  ji  »   3^  » 
u 
Analoghe  considerazioni  valgono  pel  piano  n  e  per  la  1^ . 
"  Ed  è  agevole  costruire  la  corrispondenza  %  che  soddisfi  alle  condizioni 
accennate  per  poi  ottenere  da  essa  la  corrispondenza  X  fra  le  due  congruenze. 
«  4.  Se  ora  insieme  alla  corrispondenza  birazionale  X  fra  le  congruenze 
Q,  Q'  si  dà  anche  una  correlazione  F  fra  gli  spazi  S,  S'  che  contengono  le 
due  congruenze,  facendo  corrispondere  ad  ogni  punto  P  dello  spazio  S  che 
sia  sul  raggio  |J  della  congruenza  Q,  il  punto  P'  dello  spazio  S'  in  cui  il 
raggio  i)  che  corrisponde  a  ^  nella  A',  sega  il  piano  n'  che  corrisponde  a  P 
nella  r,  la  corrispondenza  birazionale  K  che  viene  ad  aversi,  è  della  specie 
cercata. 
«  In  essa  le  superficie  Q>  (0  le  (^')  che  nello  spazio  S  (0  in  S')  corrispon- 
dono ai  piani  dell'altro  spazio,  sono  superficie  monoidali  di  ordine  a-\-\. 
