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queste  fiu'ono  definite  dal  lavoro  di  Eiemann  come  integrali  della  nota  equa- 
zione diiferenziale  lineare  del  second'  ordine,  è  stata  cercata  principalmente 
in  due  dii-ezioni:  prima  dal  Pochtiammer  (i),  sostituendo  all'equazione  diffe- 
renziale di  second'  ordine  un'  equazione  d'  ordine  n,  con  n  punti  singolari  a 
distanza  finita,  uno  all'  infinito,  ed  alcune  condizioni  sul  modo  di  comportarsi 
degli  integrali  nell'intorno  dei  punti  singolari  ;  poi  dal  Gom-sat  (-),  il  quale 
considera  pure  un'  equazione  diiferenziale  d'ordine  qualimque,  ma  coi  soli  pimti 
singolari  0,  1  ed  x.  Le  due  famiglie  di  trascendenti  scoperte  da  questi  autori 
sono  dunque  assai  diverse  fra  loro,  tostocchè  n  è  maggiore  di  2;  ora  io  mi 
propongo  di  mostrare  in  questo  lavoro  come  l'accennata  coiTelazione  fra  equa- 
zioni lineari  differenziali  ed  alle  differenze  finite  permetta  di  collegare  fra 
di  loro  le  due  specie  di  fimzioni  ipergeometriche  generalizzate.  Troveremo 
infatti  che  mentre  le  fimzioni  ipergeometriche  generalizzate  del  Gom-sat  pro- 
vengono da  un'  equazione  differenziale  lineare  di  ordine  qualunque,  coi  coef- 
ficienti razionali  in  e  del  primo  grado,  le  trascendenti  del  Pochhammer 
hanno  origine  da  ima  equazione  alle  differenze  finite,  di  ordine  qualunque,  e 
coi  coefficienti  razionali,  interi  e  del  primo  grado  in  x  ;  troveremo  pm-e  che 
ad  ogni  proprietà  formale  od  effettiva  delle  fimzioni  della  prima  famiglia 
coiTisponde  una  proprietà  correlativa  per  le  funzioni  della  seconda,  e  inver- 
samente. 
B  1.  Per  mettere  meglio  in  evidenza  la  corrispondenza  fra  le  equazioni 
lineari  differenziali  e  a  differenze  finite,  mi  è  sembrato  utile  di  considerare 
i  coefficienti  dell'equazione  differenziale  come  funzioni  razionali  di  una  espo- 
nenziale anziché  della  stessa  variabile  indipendente.  Supponendo  tutti  questi 
coefficienti  del  medesimo  grado,  l'equazione  differenziale  si  prenderà  nella 
forma 
m 
(1)  Z  («"-0  +         +  «/'-s      H  h  an.p  e-^ft)  ipoù  {t)  =  0. 
h=0 
-  Formo  la  trasformata  di  Laplace  di  questa  equazione.  A  questo  effetto 
osservo  che  in  virtù  di  un  notevole  teorema  del  Poincaré  (^),  se  t  cresce  inde- 
finitamente per  valori  reali  e  positivi,  sarà 
(2)  •  \im  e-""*  ìp  (t)  =  0 
per  ogni  valore  di  x  la  cui  parte  reale  è  maggiore  della  massima  parte  reale 
dei  logaritmi  delle  radici  della  equazione 
(3)  «0.0  +  «1.0  3  +  «2.0     +  — h  am.o  g''^  =  0  . 
(')  CreUe,  t.  LXXI,  1870. 
(2)  Amales  de  l'École  Normale,  ser.  U,  t.  XII,  1883. 
American  Journal  of  Mathematics,  t.  VII,  n.  3. 
Rendiconti.  1888,  Vol.  IV,  1°  Sem.  91 
