ed 
(5)       «o-fe  +  «i.ft  (^4-^)  +  ff2.fe  {x+kf  H  f-  am.Tt  {x+k)Af{x^k)=0. 
ì!,=r\  '  / 
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«  Risulta  da  ciò  che  posto 
(4)  f(,x)=je-^'xp{t)dt 
ed  estesa  l' integrazione  ad  una  linea  /  che  venendo  dall'  infinito  positivo, 
ruoti  intorno  ad  alcuni  punti  singolari  dell'equazione  (1)  e  torni  all'  infinito 
positivo,  si  avi'à  integrando  per  parti  : 
{x+kf  f{x-\-k)  =  Je-^^  e-^^  i/^<"^  {t)  dt  ; 
con  ciò  l'equazione  (1)  si  trasforma  nell'equazione  lineare  alle  diiferenze  finite, 
d'ordine     e  coi  coefficienti  di  grado  m: 
e  Questa  equazione  si  dirà  la  trasformata  della  (1);  ad  essa  si  poteva 
anche  giungere  seguendo  altre  linee  d' integrazione,  pm'chè  le  parti  finite  nelle 
integrazioni  per  parti  siano  nulle  ai  limiti. 
«  2.  Sia  data  invece  una  equazione  alle  differenze  della  forma  (5).  In- 
dico con  f{x)  un  suo  integrale  e  pongo 
(6)  V^(0=  r  ^^f{x)dx 
dove  la  linea  d'integrazione  A  è  soggetta  alle  condizioni 
(7)  f  e'''f{x)dx=  r  e^'^^''^f{x+l)dx=  =  f  6^="^^^' f(x+p)dx . 
«  Da  queste  risulta  colla  derivazione 
^uo     g-fti  ^Jgo^t  (^._|_/^)  dx  . 
e  con  ciò  l'equazione  (5)  si  trasforma  nella  (1). 
«  La  trasformazione  (6)  è  dunque  l' inversa  della  (4)  ;  si  tratta  soltanto 
di  determinare  la  linea  d' integrazione  A  in  modo  che  soddisfi  alle  condizioni 
indicate  da  (7). 
«  3.  Ciò  si  può  ottenere  nel  seguente  modo.  È  possibile,  in  generale, 
di  determinare  l' integrale  di  un'  equazione  lineare  alle  differenze  finite  e  a 
coefficienti  razionali,  p.  es.  la  (5),  sotto  forma  di  una  funzione  uniforme,  con 
una  sola  singolarità  essenziale  all'  infinito  e  con  singolarità  non  essenziali 
(poli)  nei  punti  radici  delle  equazioni 
r(x-\-n)  =  ()  (1), 
dove  si  è  posto 
(3')  r(x)  =  ao.o-\-ai.oX-\  {-am.ox"" 
ed  n  è  un  numero  intero  qualunque  positivo  o  nullo. 
(1)  Vedi  Hj.  Mellin,  Ada  Mathematica,  t.  IX,  p.  159  e  seguenti. 
