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«  Indicando  con  «i ,  ,  •••  le  radici  della  r(^),  i  poli  di  f{x)  costi- 
tuiscono dunque  in  generale  gli  m  sistemi 
«A ,  «ft  —  1  ,  «;ì  —  2  ,  —  n  ,  
(/i=  1,  2,  3,  ....m) . 
«  Prendo  a  considerai'e  una  linea  Chiusa  A  che  comprenda  i  punti 
«1 ,  «1  —  1, ...  «1  —  /i  fino  ad  un  valore  di  >i  arbitrario,  e  non  racchiuda  alcun 
altro  punto  nè  di  questo,  nè  degli  altri  m  —  1  sistemi  di  poli.  L'integrale 
sarà  eguale  alla  somma  dei  residui  della  funzione  e^^f{x)  nei  puntici, 
«1  —  1 , ....  «1  —  n\  l'integrale 
1  Ce^^-^''^f{x+l)dx 
sarà  invece  eguale  alla  somma  dei  residui  della  funzione  e'-^'^^^^f  {x-\-l) 
nei  punti  x  =  «i — 1 ,  «i — 2 , ...  «i — n ,  onde  segue  immediatamente  che  la 
differenza 
fe'''f{x)dx  —  fe^^^'^'f(x+l)dx 
2mJ{A)  2mJ{A)      '  ^    ^  ' 
è  uguale  al  residuo  di  e"'^f{x)  nel  punto  «i — n. 
«  Similmente  si  trova  che  la  differenza 
{e^'f{x)dx  —  {e^^^P'  f{x^p)dx 
2711  J^A)  2tiìJ{a)  '  ^ 
è  uguale  alla  somma  dei  residui  di  e^^  f{x)  nei  p  punti 
«1  —  % ,  «1  —  ?2  -j-  1 , ....  «1  —  n-\-  p  —  1 . 
«  Ingrandendo  ora  la  linea  A  per  modo  che  senza  cessare  di  soddisfare 
alle  altre  condizioni,  il  valore  di  a  cresca  indefinitamente,  se  l' integrale  con- 
serva un  significato  e  se  il  residuo  di  e^*  f{x)  nel  punto  «i — n  tende  a  zero 
per  jz=oo ,  saranno  soddisfatte  le  condizioni  (7),  e  ad  im  integrale  f{x)  del- 
l'equazione alle  differenze  corrìsponderà  l'integrale 
xp{t)^  f  e'='f{o:)dx 
dell'  equazione  differenziale  (1).  Si  è  indicata  con  A  la  linea  limite  di  A. 
«  4.  Non  mi  tratterrò  per  ora  a  sviluppare  maggiormente  le  proprietà 
di  questa  corrispondenza  fra  le  equazioni  (1)  e  (5)  (fi-a  le  quali  si  potrebbe 
notare  che  l'equazione  (3),  che  dà  le  singolarità  dell'equazione  alle  differenze, 
viene  ad  essere  l' equazione  determinante  dell'  equazione  differenziale  per 
^  =  -[-00,  e  correlativamente  l'equazione 
(8)  amo  -\-amiX-{  h  amp  x^  =  0 
che,  come  insegna  il  Poincaré,  dà  i  limiti  del  rapporto  ^^"J-^-^^  P®^  x=co , 
