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è  quella  d'onde  risultano  le  singolarità  dell'equazione  differenziale)  ;  e  passerò 
invece  a  trattare  i  casi  speciali  che  danno  origine  alle  due  famiglie  di  fun- 
zioni ipergeometriche  generalizzate. 
«  Supponiamo  pertanto  che  l'equazione  (1)  si  riduca  al  primo  ordine 
(1')    («oa+«oi  e-'-\  \-a,.p  6>-?")l/'(/)+(rtio+«n  6-'H  \-chp  c-P')  xp'  (0=0. 
In  corrispondenza  a  questa,  si  avrà  un'  equazione  alle  differenze  con  coefficienti 
razionali,  interi  e  del  primo  grado  in      che  sarà: 
(5)  («oo+«io^)/(*-)-|-(«oi+«nG';+l))/(.^+l)+- 
La  soluzione  di  questa  equazione  si  potrà  scrivere  in  forma  d' integrale  de- 
finito (4),  con  una  linea  l  d' integrazione  presa  come  è  indicato  al  §  1  ;  ma 
l'equazione  (1')  si  può  integrare  in  forma  finita  ed  il  suo  integrale,  all'in- 
fuori  di  un  moltiplicatore  costante,  si  può  scrivere 
(9)  xp{t)  =  e-^' lì{l—a.e'f>^ 
dove  le  «/j  sono  le  radice  dell'equazione  (8)  {m=l);  perciò  si  avrà  per  un 
campo  conveniente  (v.  §  1)  di  valori  di  x: 
(10        f[.x)  =  f{x;  «1 ,  a.,....ap)=    e-^^'+^^'nil—a^e'f'^dt . 
«  Al  mutare  della  linea  d' integrazione  si  potranno  trovare  sotto  la  forma 
(10)  vari  integrali  della  (5'),  le  cui  combinazioni  lineari  (a  coefficienti  co- 
stanti 0  periodici)  saranno  pure  integrali  dell'equazione  stessa  ;  fra  queste 
combinazioni  se  ne  potranno  anche  trovare  di  quelle  valide  per  ogni  x  finito, 
cioè  funzioni  trascendenti  intere.  Non  insisto  su  questa  analisi,  perchè  non 
nuova,  essendo  analoga  a  quella  svolta  in  una  questione  affine  dal  Poincaré  {^). 
"  5.  La  funzione  f{x)  data  dalla  (10)  dipende  non  soltanto  dalla  x,  ma 
anche  dai  parametri  «i ,  «2 ,  ,  dei  quali  pm'e,  sotto  certe  condizioni, 
essa  è  funzione  analitica.  Ora  questa  funzione  soddisfa  ad  equazioni  lineari 
a  derivate  parziali  rispetto  a  due  0  più  di  queste  variabili,  e  ad  un'equa- 
zione differenziale  lineare  dell'ordine  j)  rispetto  a  ciascuna  di  esse  conside- 
rata separatamente.  Ciò  si  può  provare  nel  seguente  modo. 
"  Derivando  parzialmente  la  (10)  rispetto  ad  «i,  «21  f^p-,  ed  iii^-S" 
grande  per  parti,  si  ottiene  dapprima: 
(11)  ^xJ^^3)f(x)-\-a,^  +  a,^+--\-a,^  =  0. 
e)  Mera,  citata,  §  .3. 
