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«  Ma  si  Ila  piu-e  l' identità 
(1— É?')P''-i  (1— —  (1— (1— «ft  e'f^-^ 
moltiplicando  per 
e  peri  binomi  rimanenti  (1 — «le')!^',  (1 — «26^)^2,....  ed  integrando  lungo  la 
linea  /,  si  ottiene 
(12)  /?.V^-^.^  =  («,-a,0 
equazione  a  derivate  parziali  del  second' ordine  cui  soddisfa  la /(^ ;  «i ,  a2,...c(p). 
t  Dalla  combinazione  delle    ^^^^       equazioni  della  forma  (12),  insieme 
all'equazione  del  prim' ordine  (11)  e  a  quelle  che  se  ne  deducono  colla  deri- 
vazione rispetto  alle  a,  si  ottengono  molteplici  equazioni  lineari  a  derivate 
parziali  ed  a  coefficienti  razionali  di  ordini  diversi  e  con  diverso  numero  di 
variabili.  Mi  propongo  di  mostrare  come,  in  particolare,  si  possa  ottenere 
im'  equazione  differenziale  lineare  dell'ordine  rispetto  ad  ogni  singola  va- 
riabile ai,     5  •••  c(p  . 
»  Prendendo  infatti  quelle  |j — 1  equazioni  (12)  che  contengono  una  deter- 
minata aji ,  per  esempio  la  «i ,  e  derivando  ciascuna  di  queste  jj=2  volte 
rispetto  ad  «i ,  avremo  (jj — 1)-  equazioni  lineari  fra  le  quantità 
^^^^  ^a,^-^l>ccj, 
per  A'=l,  2,  3, ...  jj  ed  h=l,  2,  3,  ...j;,  eccettuata  la  combinazione  {k=pji=p). 
Derivando  invece  — 1  volte  la  (11)  rispetto  ad  «1,  si  ottiene  un  sistema 
di  'fj  equazioni  lineari  (compresa  la  stessa  (11))  fra  le  medesime  quantità  (13), 
ed  in  più  la  f{:x)  e  la  — -  ■  Fra  queste 
equazioni  si  possono  eliminare  le  p{p — 1)  quantità 
per  k  =  1,  2,  3,  ...p  ed  h  =  2,  3,  ...  p  ,  e  si  ottiene  così  (volendo,  sotto  forma 
di  determinante)  un'  equazione  lineare  a  coefficienti  razionali  fra 
.  J/  ,  ^  z/ . 
'  '  liai     Dai-  ^«1^^ 
«  Questa  equazione  non  è  altro  che  l'equazione  ipergeometrica  delPochham- 
mer,  dell'ordine  p.  L'espressione  (11)  è  dunque  una  funzione  ipergeometrica 
d'ordine  superiore  del  Pochhammer  rispetto  a  ciascuna  delle  variabili  «1 ,  «2,  •••  <^p', 
essa  si  può  anche  considerare  come  funzione  ipergeometrica  a  due,  tre,  ...p 
