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«  Ora  il  Mellin  (')  ha  dimostrato  che,  in  generale,  l'integrale  dell'equa- 
zione (5")  si  può  dare  nella  forma 
dove  le      sono  le  radici  dell'equazione 
(3')  «00  -\-  Clio ^  ~\-  aio  x'^  -\  h  a,no  ^™  =  0  . 
«  Suppongasi  prima  che  amo  ed  ami  siano  entrambi  diversi  da  zero.  In 
tal  caso  il  numero  dei  fattori  r  del  numeratore  e  del  denominatore  nel 
secondo  membro  della  (14)  è  il  medesimo,  e  l'espressione  di  /(^)  dà  una  fun- 
zione analitica  uniforme  coi  poli  nei  punti 
/T  KN  /v  =  1,  2, ....  m,  \ 
^1^)        ^"-'^   U= 0,1,2,  .3,:...  00)5 
dove  i  punti      si  supporranno  per  maggiore  semplicità  tutti  diversi, 
"  Applicando  il  metodo  indicato  a  §  3,  si  consideri  una  linea  A  che 
avvolga  i  punti  del  sistema 
Qi ,  Qi  —         —  2  , ....     —  n,  .... 
escludendo  tutti  i  poli  degli  altri  m  —  1  sistemi  (15)  :  come  si  è  visto, 
l'espressione 
sarà  un'  integrale  dell'  equazione  (1"))  purché  essa  abbia  un  significato,  e 
pm'chè  il  limite  del  residuo  di  e°^^f(x)  relativo  al  pimto  x  =  Qi  —  n  sia 
nullo  per  n  =  od  .  Questo  residuo,  ricordando  le  note  proprietà  della  fun- 
zione r,  si  ottiene  facilmente  dalla  (14)  sotto  la  forma 
m 
(—^\n       n  r{Qi  —  Q,—n) 
n  r(Qi—ff^  —  ri) 
«  Ora,  non  solo  questo  residuo  tende  a  zero,  ma  l'integrale  (6)  equi- 
vale alla  serie 
00 
n=o 
e  questa  si  trova  facilmente  essere  convergente  assolutamente  ed  in  egual 
gi-ado,  per  tutti  i  valori  di  t  tali  che  sia 
(1)  Ada  Mathematica,  t.  Vili,  p.  37.  Cfr.  anche  ibid.,  t.  IX,  p.  137. 
