—  794  — 
come  si  vede  sub  ito  formando  il  rapporto  R„  :  R„_i .  Questa  serie  è  dunque 
un  integrale  della  (1"),  ed  essa  si  può  scrivere 
(16)  e?^'2Gne-'" 
con 
n7ì    r  _  (—  1 Y  rh-"  —    —    •  •  •      —    —  n)  
^    '  "     ^      ^         n\r{Q,  —  G,  —  7i)r{Q,—a,  —  n)...r{q,  —  a,,  —  n) 
e  riducendo  ed  indicando  con  C  un  fattore  costante  comune: 
m 
n  ((X,  —  Pi  +  1)  ((T,  —  (»i  -1-  2) . . .  (o-,  —  qx-\-n) 
(17')  G.,,  =  Qc---^  
n\  n  {q,  —  Q,-Y\)  {q,  —  Pi  4-  2)  . . .  (p,  —  (?i  +  n) 
dove  è  manifesta  l'analogia  coi  coefficienti  della  serie  ipergeometrica. 
«  Con  un  facile  cambiamento  di  variabile,  l'equazione  (1")  si  riconduce 
all'equazione  differenziale  lineare,  a  coefficienti  razionali,  regolare  all'infi- 
nito, considerata  dal  Gom-sat  nella  citata  Memoria,  mentre  l'espressione  (16) 
si  riduce  alla  serie  ipergeometrica  generalizzata,  integrale  di  quell'  equa- 
zione, e  che  forma  l'oggetto  della  Memoria  stessa. 
e  7.  Al  sistema  pi ,  Qi  —  1 , . .  .  pi  —  n,...  ài  poli  considerato  in  ciò  che 
precede,  si  può  sostituire  uno  qualunque  degli  altri  sistemi  (15);  con  ciò 
si  ottengono  m  integrali  dell'equazione  (1"),  costituenti  nel  loro  insieme  im 
sistema  fondamentale.  Questi  integrali  sono  tali  che,  detto  'ip^{i)  quello  re- 
lativo al  sistema  di  poli  Q•^  —  n ,  sarà  per  t  =  -\-  co  , 
lim  e-^'  i/;,  (/)  =  0 
se  la  parte  reale  &\  x  h  maggiore  di  quella  di  . 
«  8.  Nella  (5")  si  sono  supposte  le  amo ,  a.ni  differenti  da  zero.  Se  sup- 
poniamo che  ami  sia  zero,  il  numero  dei  fattori  F  sarà  maggiore  nel  nu- 
meratore che  nel  denominatore  nel  secondo  membro  della  (14);  il  limite 
del  rappoiiio  E„:Rn-i  considerato  a  §  6,  sarà  zero  per  qualunque  valore 
di  e  la  serie  integrale  .2R„  sarà  una  funzione  trascendente  intera.  Si 
ottengono  così  le  trascendenti  accennate  nel  n.  10  della  citata  Memoria  del 
Goursat. 
«  Se  in  luogo  di  ami ,  si  suppone  a,no  =  0,  la  serie  .IR,,  del  §  6  è 
sempre  divergente,  benché  essa  continui  a  soddisfare  formalmente  all'equa- 
zione differenziale.  Ma  considerando  -77-^  invece  di  f(a;) ,  si  ritorna  al  caso 
precedente,  e  con  ciò  si  vede  che  nel  caso  di  una  funzione  f{a:)  che  sod- 
disfa ad  un'  equazione  alle  differenze  del  prim'  ordine,  le   espressioni  della 
forma  (4)  per  la  /(^)  e  per  la  -jr-:  sono  affatto  analoghe.  Ciò  spiega 
