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l'analogia  di  forma  fra  l'integrale  definito  ordinario  (euleriano)  che  rappre- 
senta la  funzione  r{j;),  e  l'integrale  di  Hankel  (')  che  esprime  la  l:r(^-). 
«  Nel  caso  in  cui  a,ni  è  zero,  si  può  limitare  l'integrazione  nella  (6) 
in  un  modo  che  mi  sembra  interessante  perchè  dà  un  esempio  notevole 
d'inversione  d'integrale  definito.  Dico  cioè  che  l'integrale  (6)  si  può  scrivere 
(18)  W)  r{x  -  a,)  r{x  -a,)...  r{x  - 
tv  a— Ino 
deve  a  è  un  numero  reale,  maggiore  delle  parti  reali  di  ciascuna  delle 
?i ,  Qì ,  •  •  ■  Qm  •  Posto  X  —  ^  ~\-  iì'ì ,  sulla  linea  ì^  =  a  del  piano  x  nessuna 
delle  funzioni  F  diventa  infinita  ;  inoltre  al  tendere  all'infinito  di  */  (supposta 
positiva),  la  r{x  —  q-,)  diviene  infinitesima  di  un  ordine  indicato  da 
TTYl 
rf^^'  e-—  ' 
dove  f  è  compreso  fra  — 7  e  -j--^  (")  ed  m  è  il  massimo  intero  contenuto 
nella  parte  reale  di  a  —  .  Al  tendere  di  — all'infinito,  r{x  —  Q•^)  di- 
viene infinitesima  nello  stesso  modo. 
«  Da  questa  osservazione  applicata  ai  vari  fattori  del  numeratore  e  del 
denominatore  sotto  il  segno  della  (18)  si  può  dedm-re  la  condizione  affinchè 
la  (18)  stessa  abbia  un  significato.  Posto  infatti  t  =  r-\-i(f5^  e^^  avrà  il 
valore  assintotico  e^wvi  per  ?y  =  z±:  00  ,  e  l'integrale  avrà  un  significato  sotto 
le  condizioni 
—  mr,  — ^<0,     t^^;  — ^<0, 
cioè  per  i  valori  di  /  compresi  fra  due  parallele  all'asse  reale  alla  di- 
stanza —  ^  . 
Li 
«  Se  ora  consideriamo  nel  piano  x  un  rettangolo  coi  vertici  nei  punti 
A(«  —  irj) ,    B(fl;  -{-  itj)  ,    C(a        —  i>j)  ,    J){a  +  1  +  irj) , 
l'integrale  della      f{x)  esteso  al  contorno  del  rettangolo  è  nullo  per  il  teo- 
rema di  Cauchy;  ma  per  ì]  =  co,  l'integrazione  estesa  ai  lati  AC,  BD  è 
nulla,  e  rimane 
e'''f{x)dx=  e"'ff{x)dx 
t_/a-i-l— ix> 
e  mutando  x  va.  x     \  nel  secondo  membro  : 
e""  f{x)  dx  =  e'     e""'  f{x  -^l)dx. 
0)  Eiportato  dal  Bigler  (Creile,  T.  CU,  p.  237). 
(2)  Vedi  Nota  alla  fine  del  lavoro. 
