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Con  ciò  resta  dimostrato  che  l'espressione  (18)  soddisfa  alle  condizioni  (7), 
e  che  quindi         è  un  integrale  dell'equazione  (1")  nel  caso  di  ami  =  0  . 
«  In  particolare,  per  ogni  valore  positivo  di  a.  l'integrale 
non  differisce  da         che  per  un  fattore  costante. 
«  10.  Nello  stesso  modo  che  l'integrale  (10)  della  equazione  (51),  con- 
siderato come  funzione  dei  parametri  «i ,  «a , . . .  ,  soddisfa  ad  un'equa- 
zione differenziale  lineare  d'ordine  m  rispetto  a  ciascuno,  e  ad  equazioni  a 
derivate  parziali  d'ordine  inferiore  rispetto  a  due  o  più  di  essi  parametri, 
così,  mantenendosi  la  già  notata  dualità,  si  trova  che  l'integrale  (6)  del- 
l'equazione (1")  considerato  come  funzione  degl'infiniti  ,  ^>2 ,  ■  •  •  della 
f{x),  soddisfa  ad  un'equazione  lineare  alle  differenze  finite  dell'ordine  m 
rispetto  a  ciascuno  di  essi,  e  rispetto  a  due  o  più,  ad  equazioni  alle  diffe- 
renze parziali,  d'ordine  inferiore.  Le  quindici  note  relazioni  fra  le 
«  functiones  contiguae  »  di  Gauss  nella  teoria  delle  serie 
ipergeometriche,  e  le  generalizzazioni  di  queste  brevemente 
accennate  nel  n.  7  della  citata  Memoria  del  G-ourSat,  non 
sono  che  casi  speciali  di  tali  equazioni  alle  differenze 
ordinarie  o  parziali. 
«  Queste  equazioni  si  possono  ottenere  come  segue.  Si  ha,  sviluppando 
la  (6') 
(19)  m  =  ^ J^^"' £  rt-li    =     ;  ?i ,  ?2 , . . .  P.)  C). 
Ora,  indicando  con  q  un  numero  intero  positivo  qualunque,  si  ha 
r{x  —  (),-{- q)  =  {x  —  Qi){x  —  Qi^l)...{x  —  q^-\-q  —  l)r{x  —  o^) 
ossia 
r{x  —  Q,^q)  =  [x'ì  +  g^x'i-'  +  g,xi-^  +  •  •  •  +  ^p-i  ^  +  9?)  r{x  —  Qi) 
dove  le      sono  funzioni  intere  di  Qi  ,  di  un  grado  indicato  dall'indice.  Se 
dunque  nella  (19)  si  sostituisce     —  q  al  posto  di  Qi  ,  si  ottiene  immedia- 
tamente : 
(20)  V&,-d-=|f  +  ..^  +  ...+!^pV'(0. 
Formando  le  equazioni  (20)  per  (7  =  1,2,...  m,  si  potranno  dedurre  i  va- 
lori di 
,  ,  dip  d'^xp 
(^)  Scriverò  \p{t)  quando  non  importerà  considerare  i  parametri  ,  e  ^[_Qh ,  Qh] 
quando  si  vorranno  considerare  i  parametri  Qh ,  Qk  P-  es.,  e  non  la  variabile  t  e  gli  altri 
parametri  q. 
