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in  funzione  lineare  delle 
V'[?i] ,  vc?i  —  1] ,  •  •  •  vr?! — ^2  , 
a  coefficienti  razionali  in  ,  e  sostituendo  le  espressioni  così  ottenute  nella 
equazione  (1"),  si  otterrà  (volendo,  in  forma  di  determinante)  un'equazione 
alle  differenze  ordinarie,  lineare,  dell'ordine  m  e  a  coefficienti  razionali  in  qi  , 
cui  soddisfa  la  ip  considerata  come  funzione  della  sola  .  Analogamente 
rispetto  a  ciascuno  degli  altri  parametri. 
«  Partendo  invece  da  una  relazione  come 
r{x  —  Qi-^r)  r{x  —  Qi-\-s)  =  {x  —  Qy)  {X  —  Qi  +  1) . . .  {x  —  Qy-\-r  —  1) 
{x  —  Qi)...{x  —  Q2-\-S—l)  r{x  —  Qi)  r{x  —  Qi) 
e  procedendo  in  modo  analogo  a  quanto  si  è  fatto  precedentemente,  si  giun- 
gerà ad  im' equazione  alle  differenze  parziali,  lineare  e  a  coefficienti  razio- 
nali in  Qi ,  ,  cui  soddisfa  la  4'[_Qi ,  Qì']-  Similmente  si  troverebbero  rela- 
zioni fra  tre  o  piii  parametri. 
"11.  Riassumendo,  l'analogia  fra  le  due  class^  di  funzioni  studiate  in 
ciò  che  precede  si  può  far  risultare  dal  seguente  specchio  dei  risultati  di- 
mostrati : 
«  All'equazione  differenziale  li- 
neare a  coefficienti  razionali  in 
si  fa  corrispondere,  con  una  trasfor- 
mazione, xm' equazione  alle  differenze 
lineari,  a  coefficienti  razionali  in  x. 
K  Detto  ip{t)  V  integrale  della 
prima,  ed  f(x)  quello  della  seconda, 
la  formola  di  trasformazione  è  della 
forma 
{a)  f{x)=Se--'xp{t)dt, 
l'integrale  essendo  preso  secondo  una 
linea  convenientemente  scelta. 
«  Il  grado  ;j  dei  coefficienti  della 
prima  in  dà  l'ordine  della  seconda; 
l'ordine  m  della  prima  dà  il  grado 
in  X  dei  coefficienti  della  seconda. 
«  Se  dunque  l'equazione  diffe- 
renziale è  del  primo  ordine,  l'equa- 
zione alle  differenze  è  dell'ordine  jj, 
a  coefficienti  razionali  di  primo  grado. 
«  In  questo  caso  l' espressione  («) 
di  f{x)  dipende  da  p  parametri,  i 
cui  logaritmi  sono  i  punti  singolari 
«  All'equazione  alle  differenze  fi- 
nite lineare  a  coefficienti  razionali  in  x 
si  fa  coiTispondere,  con  una  trasforma- 
zione, un'equazione  differenziale  line- 
are, a  coefficienti  razionali  in  e~K 
«  Detto  f{x)  l'integrale  della 
prima,  ed  ip{t)  quello  della  seconda, 
la  formola  di  trasformazione  è  deUa 
forma 
(b)  W)=^Je^'r{--^^dx, 
l'integrale  essendo  preso  secondo  una 
linea  convenientemente  scelta. 
^  Il  grado  m  dei  coefficienti  della 
prima  dà  l'ordine  della  seconda; 
l'ordine  della  prima  dà  il  grado  in  e~' 
dei  coefficienti  della  seconda. 
Se  dunque  l'equazione  alle  dif- 
ferenze è  del  prim' ordine,  l'equazione 
diffei»enziale  lineare  è  dell'ordine  m 
a  coefficienti  di  primo  grado  in 
(equazione  del  Groursat  facendo  e~'=j). 
«  In  questo  caso  l'espressione  (b) 
dipende  da  m  parametri  (poli  della 
