§ 2. Variazione di una funzione che dipende da un'altra funzione. 

 « 4. Sia 



B _ 



y=y\[sf (*•] I , 



A 



diremo che y è continuo se, data a (<>{x) una variazione xp(x) tale che in 

 valore assoluto ip(x) sia sempre inferiore ad f, la variazione corrispondente 

 di y può rendersi inferiore a e piccolo ad arbitrio. 

 « Se si suppone in generale che sia 



Bi B a B n 



y = y I Cspi (#)> 9*2 {%), .... 9« ^ ^ , ... ^] | 



A, A 2 A» 

 diremo che ^ è continuo se, date alle (f i (x) delle variazioni i/'j (#) e alle /, 

 delle variazioni r t -, tutte inferiori a e in valore assoluto, la variazione corrispon- 

 dente di y può rendersi inferiore a a piccolo ad arbitrio. 



« 5. Per la >y dipendente dalla y(x), oltre alla condizione della conti- 

 nuità, ammetteremo altre condizioni. 



» Preso un intervallo /t = m« entro AB, diamo alla y(x) una variazione 

 continua 6(x) entro A, tale che 6(x) sia in valore assoluto inferiore ad f, 

 e denotiamo con óy la variazione corrispondente di y. Ammetteremo: 



óy 



« I. Che il rapporto -^r sia sempre inferiore ad un numero finito M. 



« Suppongasi ora Q(x) sempre dello stesso segno e si ponga I 6 (x) dx=&. 



Se rappresentiamo la funzione cp (x) mediante una curva z = y (x), avremo 

 che <s sarà l'area compresa fra questa curva e la curva variata. Porremo le 

 condizioni : 



« II. Che facendo impiccolire indefinitamente s ed h , in modo che 

 questo intervallo contenga sempre nel suo interno un punto G di indice t, 



ti 



esista il limite determinato e finito del rapporto -jj- - 



« III. Che il rapporto — tenda verso il suo limite uniformemente 



rispetto a tutte le possibili funzioni <f(x) e agli indici t. 



» Il limite 

 denoteremo con 



tfltg>(*).OI 



e lo chiameremo derivata prima di y. Ammetteremo : 



« IV. Che y' \\_<p(x),t~\\ sia continua rispetto a y{x) e a t. 

 « 6. Ciò premesso passeremo a studiare la questione seguente : 

 « Diamo alla y (x) una variazione continua nell' intervallo AB , varia- 

 zione che denoteremo con eif.>(x) ; la variazione corrispondente di y iudichia- 



» Il limite ^ dipenderà dalla cp (x) e dall' indice t del punto G ; lo 



