avremo 



y I EX*) + * * (*)] | - y | + « g ^ (*)] I = 



= «?r j y' I [>(#) + e Zi *« (ar), *r] | + V J » 



ove 4- denota un punto compreso nell' intervallo h r e, a cagione della con- 

 dizione III, sarà possibile rendere r /r minore di un numero rj piccolo ad ar- 

 bitrio, purché £ e h r siano inferiori ad un numero /.i sufficientemente piccolo 

 indipendente da r. 



a Per la continuità della derivata prima (condizione IV) avremo poi 



V I &<*) + f I ^ (*) . « I = / ! . « I + ?r , 



i 



e le potranno rendersi tutte inferiori ad un numero £ piccolo ad arbitrio, 

 purché £ si prenda sufficientemente piccolo. 



« Ne segue che le relazioni (1) e (2) potranno scriversi 



(3) y\l9(x) + ^(m-y\l?(*)l\ = 



= * tr <>r ■ V | [>(*). <r] | + e £ ^ + C) + # (2JMPé), 

 1 i 



in cui 0- è un numero compreso fra -{- 1, e — 1. 

 « Ora 



CT., = fc r V (4-) + * (A r D,. + (k r + «r) P) 



essendo D r 1' oscillazione di xp(x) entro A r e z un numero compreso fra — 1 e 1. 

 « La (3) potrà quindi trasformarsi in 



y I [>(#) + f V (#)] I — y I I = 



n n 

 = e V„- h r . ip (/,) y[ | /,] | + £ X <r r (,;, + f r ) + £« 



i i 



ove n 



£ = (2M-f 1)()P + ^_/ì,D,. 



i 



- Dividendo per £ e passando al limite per f, ò, h\ . h 2 ... h n tendenti 

 tutte a zero, avremo 



(4) 



£=0 



lìm v 1 L>0) + 1 — y 1 [9(^)1 1 = ì[m dJL 



Il limite cercato è quindi ottenuto. 



- Il resultato trovato può anche esprimersi diversamente. La equazione 

 precedente può scriversi 



^y = * V(t).y'\l<p(x),tl\dt + <>, 



