essa potrà scriversi in due modi diversi 



M = u ì[y(«) + ip 2 (ar)]| - u \[tp(*)ì\ , 

 M = *>-J[5<*) + Vi(*)]|-f|[>(*)]|, 



ove si è posto 



» lOteHI = v |[>te) + Vi te)]| - y U>te)]| , 



*> n>te)]i - // ifote) + v-3 c^)]i - y mm\ ■ 



« Denotando con Sx e S 2 le aree rispettivamente comprese fra le curve 

 s^cp (x) , 2 = g> (x) -f Vi te) i 



« = y te) , j = y (#) 4" Vs (a?) , 

 e applicando la forinola (7) avremo 



a||>(#) + v»(*)3I— mJCsp(*)]| = l&pfe) + 6'* V*te), 601 s 2 , 

 »!&(*) + Vite)]! - 4t<f(z)l\ = *>']L>te) + e'i «M4 MS» , 



ove 5' 2 o 5'j denotano due numeri compresi fra 0 e 1, e t\ e /' 2 sono due 

 valori fra k x e B, , A» e B 2 . 

 « Ora 



ri |[?te) + Jl ?= / Il>te) + Vite) + 0'* V«te)> Ql - 



-y'|[^te) + ^v 2 te),^]| 5 

 < ' |&te) + 0\Vite), = y |&te) + v 2 te) + e'^ite), t\j 



-/ICfC^ + e'iVite), 



onde applicando nuovamente la formula (7) avremo 



u'\l<p(x) + O^te), r 2 ]| = /'|[>te) + Vite)" + *'* Vste), ^, ^"]|.S, , 



y'ILVte) + 0'iVite)< AHI = j$IE*te) + 0" 2 v*te) + e', v^), *\ , ^]|.s 2 , 



essendo al solito 0" \ e 6" z numeri compresi fra 0 e 1, e t'\ e f 2 dei valori 

 compresi negli intervalli Ai B! e A 2 B, . Ne segue che 



M = f \[sf{x) + V\ Vite) + 9 t V*te), ^'illSìS,, 

 M = y" |[9>te) + e', Vite) + v»te)> ^ , t\J Sx S 2 ; 



quindi 



^&te)+^ViteH^^ 



« Si supponga ora che 



f IL>te), «i, 



sia continua rispetto a g>te), & , t% ; facendo impiccolire indefinitamente le 

 funzioni Vite) e Vate) e i due intervalli A x Bj e A 2 B 2 e facendoli tendere 

 verso due punti t x e t 2 , per la formula precedente, avremo 



y"|[>te)i ?n y| = y"ICspte), i2,tu\, 



il che dimostra la simmetria della derivata seconda rispetto ai due parametri 

 ti e t%. 



« Analogamente si dimostrerebbe la simmetria rispetto ai parametri che 

 compariscono nelle derivate successive. 

 • 10. Consideriamo ora 



!/l<j(,-) + exp(x))\ 



