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« Preso un valore di t diverso dal valore dell' indice X\ del punto C la 



y'\l<fl*)-Q\ 



sarà finita e continua rispetto a Cominciamo dal dimostrare che se ip(x) è 

 continua ed è sempre inferiore ad un valore finito M 



esiste ed ha un valore determinato e finito. 



« Infatti, mediante un intorno h=mn di x u separiamo questo punto dai 

 rimanenti dell' intervallo AB. A cagione della condizione (IO), basterà pren- 

 dere e q h minori di un valore ó, perchè si abbia 



essendo tr piccolo ad arbitrio. Prendiamo pertanto un intervallo (mn) < ó e 

 fissiamo due punti p, q compresi fra m e x\ , oppure fra X\ e n. Diamo a 

 (f(x) una variazione continua rj6(x), tale che 6{x) sia nulla fra A e p e 

 fra f e B, eguale a ip(t) fra p-\- k e q — k e sempre crescente o sempre 

 decrescente nei due intervalli (p, p-\-k), e (q — k, q). Basterà che si abbia 



r/< M' 



in valore assoluto, perchè sia . 



y\ly<z) + r J 6(. x )-)\--y\\-c f (xy]\ 



ovvero 



+ < Mtf 



« Facciamo tendere t] a zero, avremo al limite 

 \y'\[<f{x), f]\B{t)dt<Mti, 



xjip 



ovvero 



JWq-% 

 ìf I [>(«), *]| W) dt + < Mff 



p+k 



essendo L il limite superiore dei valori assoluti di #'| [</(#), f}\ entro (p q) 

 e # essendo compreso fra — 1 e -(- 1. Poiché la relazione precedente vale 

 qualunque sia k, così dovremo avere 



