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L'altra, che debbo al sig. H. Schubert ('), è: 



w ■' r r (r-\- 1) \r — 1/ 



Eliminando // si ha la relazione cercata: 



(os k — 1 k{k — l) (k—2\ 



Un caso particolare di essa (r = l) si trova già in una Nota precedente, Intorno 

 alla geometrìa su ima rigata algebrica (Rendiconti, fase. 1°, luglio 1887). 



- 2. Ponendo nella (3) k — r -(- 1 ed inoltre supponendo per sempli- 

 cità s = 0 si ha in particolare : 

 (4) v — n = n — (r -4- 1) p -j- r . 



Dunque : data su una curva d'ordine v e genere n appartenente ad uno spazio 

 qualunque di dimensione > r un' involuzione di grado r -4-1 e del genere p 

 (vale a dire una serie semplicemente infinita e del genere p di gruppi di 

 r -f- 1 punti, tale che ogni punto appartenga ad un sol gruppo), l'ordine n 

 della varietà luogo degli S r congiungenti i vari gruppi di punti dell' involu- 

 zione è dato dalla forinola (4). 



« Od anche : se in una forma algebrica semplicemente infinita di genere n 

 esiste un' involuzione di grado r — {- 1 e del genere p tale che in una serie 



( l ) Questo chiar. mo scienziato me ne dava per lettera la dimostrazione che qui ripro- 

 duco con leggere modificazioni. 



Abbiasi in un sistema, oo 1 di forme, di cui ognuna si componga di k punti posti 

 in uno stesso S r (k > r) ; e s' imagini in ciascuna congiunti i k punti a 2 a 2 con rette, 

 a 3 a 3 con piani, ... in genere ad ad (i<Cr) con S; . Indichiamo con x 0 



il numero di quei gruppi del sistema che hanno uno dei k punti su un dato S ( i—i , 

 con Xy il numero di quelli di cui una delle rette congiungenti incontra un dato S f «_ 2 , . . . 

 in genere con x% il numero di quelli nei quali vi è un Si congiungente che incontra in 

 un punto un Sa—i—i arbitrario ; indichiamo infine con x il numero di quei gruppi del sistema 

 il cui sostegno S r incontra in un punto un dato Sa—r—i . Per ottenere r equazioni fra 

 x 0 , %i , ... x r — i , x applichiamo il principio di corrispondenza di Chasles ad un fascio 

 di Sd— i considerando come corrispondenti due di questi spazi quando contengono due punti 

 di uno stesso gruppo, e poi (successivamente per i = 1 , . . . , r — 1) alla forma fondamen- 

 tale costituita dagli co 1 Sa— £_i che in uno stesso Sd—i passano per un Srf_i_ 2 fisso, consi- 

 derando come corrispondenti due S c j_ì— i che incontrino due degli S; costrutti appartenenti 

 allo stesso gruppo ed uscenti da uno stesso S^_t . Si ha così : 



2.1. (k — 1).#„= 1.2. x t -fa, 



2 . 2 . (k — 2) . x x = (k — 1) (k — 2) . x 0 + 2 . 3 . x* + « 2 

 2 . 3 . (k — 3) . x 2 = (k - 2) (k — 3) . x i + 3 . 4 . x 3 -f « 3 

 2 . 4 . (k — 4) . x 3 = (k — 3) (k — 4) . x 2 + 4 . 5 . x* + « 4 



2(/'-l)(A-r+l) . x r -, = (k - r + 2) (k - r + 1) . x r -* + (r — 1) . rx,-, + « r -x 

 2 . r . (k - r) . x v -, = (k - r + 1) (k - r) . x r -* + r (r + 1) ( r ■+ l) ' ^ +f?r 



