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suoi gruppi di y* — J— 1 punti apparterrà ad un determinato S,- : il luogo di 

 questi S,. sarà una varietà V di genere f e d'ordine n ad r -f- 1 dimen- 

 sioni appartenente allo spazio di / ed avente V per proiezione. Dunque: 



Ogni varietà algebrica ad r — [— 1 dimensioni composta di una oo 1 di S r 

 del genere p e d'ordine n>(r-|-l)p si può sempre ottenere come 

 proiezione di una varietà simile (cioè avente gli stessi caratteri) appar- 

 tenente ad uno spazio di dimensione n — (r -\- 1) p -f- r , quando essa 

 stessa appartenga ad uno spazio inferiore a questo. Ma una tale varietà 

 può anche in certi casi appartenere ad uno spazio di dimensione 

 >n — (r-|- 1) p -J-r , od essere proiezione di una simile varietà 

 appartenente ad un tale spazio ( 1 ). 



« Questo teorema si potrà riguardare come fondamentale in varie ricerche 

 relative alla geometria su di una varietà della specie considerata. Le appli- 

 cazioni già fatte del suo caso particolare r = 1 alle rigate algebriche si 

 possono estendere servendosi del teorema generale a varietà con r qualunque. 



« 4. È noto che una curva di genere p e d'ordine n ~^>2p — 2 non 

 può appartenere ad uno spazio di dimensione > n — p ; e da ciò segue 

 subito più in generale che una S r — V'V+i (cioè una varietà d'ordine n , 

 luogo di co 1 S r ) del genere p non può, se n ^>2p — 2 , appartenere ad uno 

 spazio di dimensione ~^>n — p-\-r. Invece esistono tali varietà apparte- 

 nenti a qualunque spazio dato di dimensione < n — p~{-r; ma se quella 

 dimensione supera u — (r~\-l)p-\-r le varietà presentano, per n abba- 

 stanza grande rispetto a p , delle particolarità notevoli che saranno studiate 

 altrove. Qui mi limiterò al caso più semplice, cioè a quello delle varietà di 

 genere p ^> 0 appartenenti a spazi di dimensione ^> n — p . Dico cioè che 

 tali varietà, per h abbastanza grande, sono tutte coni. Più precisamente : 

 Una S r — V" r +i di genere p>0 appartenente ad un S n - P +i (0 <Ci <.r) , 

 se n >. 2p -f- r — i , è sempre un cono di specie i (comprendendo fra i coni 

 di una specie quelli di specie superiore come casi particolari). 



« Se i > 1 , la dimostrazione di questo teorema si riduce subito a 

 quella del caso i = 1 segando la data varietà con un S^+i e considerando 

 la varietà sezione. Vi è dunque da dimostrare il solo caso di i == 1 , cioè 

 che una S,. — V'V+i di genere p^>0 ed ordine n>.2p-\-r — 1 apparte- 

 nente ad uu è sempre un cono (in generale di 1 a specie). Ora sup- 

 posto che questo sia vero per una S r _i — V,-'* -1 appartenente ad un S„_ } , 

 (vale a dire quando r ed n vengono diminuiti di un'unità), sarà pur vero 

 per la S r — V'V+i appartenente ad S n - P +i , giacché segando questa varietà 



(!) Dicendo che una varietà qualunque è normale per lo spazio cui essa appartiene, 

 quando essa non può ottenersi come proiezione di una varietà dello stesso ordine apparte- 

 nente ad uno spazio superiore (locuzione che pare conveniente introdurre), si può enunciare 

 più brevemente questa proposizione così: Le varietà composte di oo 1 S r di genere p e 

 d'ordine n sono normali per spasi di dimensione >. n — (r + 1) p -j- v . 



