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« Se questa si deriva prima rispetto a X\ , poi rispetto a x% , ecc., e in 

 ultimo rispetto a x„, e le risultanti equazioni si moltiplicano ordinatamente 

 per Pi. P 2 ,... P ;1 e si addizionano, si ottiene 



ove S m _i indica la somma dei prodotti ad m — 1 ad m — 1 delle , s 2 , ... z m . 



K In generale, indicando con Sa la somma dei prodotti ad h ad h delle 

 Si , z 2 , ... s m , e con S ft (k) la somma dei prodotti ad h ad h delle Zi , z 2 , ... Zu-ì , 

 ^ft+i ? ••• %m > si ha 



^ = Sa-, (1) ^ + S ft _, (2) ^ + ..- + Sa-, (m) ^ (3) 



òX r oX r oX r oX r 



e quindi 



V Pr ^ = r \ S,^ (1) Sa_ 1 (2) n h S/-i (») ! = («2 — * + 1) B£U_, . 



« È chiaro perciò che, con successive derivazioni della (2), si potranno 

 calcolare tutte le S, e ponendo 



tp m - h+ì =— >_Pr^TT- , ?o = ? 



si avrà 



1.2.3 ... (ni — Ji) Sa = ^-a- 



- Dunque : 



- Dato il prodotto di m soluzioni particolari della I, si possono espri- 

 mere razionalmente, in funzione sua, di sue derivate, dei coefficienti della I 

 e di loro derivate, i coefficienti dell'equazione del grado m° che ha per radici 

 quelle m soluzioni. 



« Dalla 



1.2.3... (m—1) Si = <p m -i 



si ricava 



<p m — 1.2.3 ... m 



equazione alle derivate parziali, rispetto alla funzione cf, lineare e dell'or- 

 dine m°. 



- 3. La stessa proprietà si riscontra nell'equazione II. 

 « Infatti dalla relazione (3) si ricava 



f p,. ^ = R (m - h + 1) Sa-, + Q j *, Sa_,(1 ) + f, EU-i(2) + - + z m S^m) \ 



'{~ òXh [ ) 



= R(w — /ì+1)Sa-!+ AQSa 

 epperò ponendo 



S m = Si Zi ... z m =g> 0 > 5P» = -g- 1 X p '- —(«»—'#+ 1) Q^fc-! j 



