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k Per n — 3,4142 si trova 



B„ < 0,0001 e > — 0,0003 . 



E siccome 2 -J- j/2 = 3,4142 il valore di « che verifica B„ — 0 se non 



è 2 -f- j/2 , sarà da esso ben poco differente. Noi lo rappresenteremo con v. 



« Ora dimostreremo che se B„ è positiva per un certo numero n, è po- 

 sitiva per tutti i numeri superiori. Basterà provare che il binomio B„ + 2 — B„ 

 è una quantità positiva a cominciare da quel numero, poiché se così è, sic- 

 come B 4 e B 5 sono positive, lo saranno B 6 , B 7 e tutte le B con indici 

 superiori. 



« Dalla (18) ponendo mente alla (16) si ricava 



t> t> In W + 9» + 10) — (n + 6) 



Ma se B„ è positiva (e lo è per n = 4 ed % = 5) sarà 



» j/2^ 1 

 f> w 2 -f « — 4 ' 



e quindi sostituendo, verrà 



n j/2^ 1 (Sn 2 -j- 9w + 10) — (m 8 + n — 4) (n -f 6) |/2^ 

 **** ^ n> ( w _f_2)(#-{-w-4) 

 e finalmente 



(19) B„ s - B„ > (tt + 2) ' ( „, + )i _ 4) (2»' + 2„> + 8» + 24) > 0 



« Così resta dimostrato, che B (i è positiva per tutti i numeri interi > 3. 

 Per estendere il teorema e tutti i valori superiorri a v notiamo che la pre- 

 cedente disuguaglianza si verifica qualunque sia n anche non intero. Per 

 dimostrare adunque che B ;i è positiva per tutti i valori di n superiori a r, 



basterà provare che B„ è positiva per tutti i valori di n compresi tra r 

 e v-f- 2. 



« Derivando B H rispetto ad n si ha 



B'„ = (2n + 1) ì n -f (n* -f n — 4) & — (1 -f n log j/2) f/i^ 



ma 



ì Js&ì — J^F» >«««»»— *W •*•-/*« % « 



e passando ai limiti e indicando con « un numero compreso tra 1 e \ , 

 r. = & lògi/2 - "^mw£^=Zn log J/2 - 2^:[(^H-3)? w -t/2^]- 



« Se ora noi sostituiamo ponendo « = 1, avremo 



»'»>[(2» + 1) + (* ! + n - 4) (lKl'2 - 27^1)] *« ~ 

 _( 1+Klog ^_^i) # 



