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« Consideriamo un punto M pel quale passano due linee Lx e L 2 , deno- 

 tiamo con dsi e ds 2 gli elementi degli archi delle due curve che partono 

 da M e con (c^ , ^ , y t ), (« 2 , /?., , y 2 ) i loro coseni di direzione. Supponiamo 

 di dare a ciascun punto di ds 2 uno spostamento eguale e parallelo a dsi : la 

 variazione subita da 9, a meno di infinitesimi di ordine superiore, sarà: 



^ 9 = (X, « 2 + Y, fi, + Z, y 2 ) rfs, . ds 2 



ove Xi, Y x , Zi , denotano i valori di y>' x , (f>' y , </>'_, corrispondenti alla linea Lx 

 nel punto M. 



« Analogamente supponendo di dare a ciascun punto di ds 2 uno sposta- 

 mento eguale e parallelo a ds x , avremo per variazione di y> , a meno d'infi- 

 nitesimi di ordine superiore 



ó 2 (p = (X 2 a L -f- Y 2 /$! + Z 2 y,) . fl!s 2 , 



essendo X 2 , Y 2 , Z 2 i valori di , , tp' z , corrispondenti ad L 2 nel 

 punto M. 



« Ora se <p è una funzione semplice deve aversi a meno d'infinitesimi 

 d'ordine superiore: 



ói <p = S 2 (f . 



Quindi : 



X x a. 2 -h Yj /? 2 -h Z x y 2 = X, a v -f- Y 2 /?! -f- Z 2 y x ; 



ovvero indicando con (A! , Bi , Ci), (A 2 , B 2 , C 2 ) i valori di A , B , C , cor- 

 rispondenti alle due linee Lj e L 2 nel punto M 



(Ai— A 2 ) (/?xy 2 — M~h (B,— B 2 ) (yx« 2 — y 2 «i) + (Ci— C 2 ) («,/? 2 — /?,« 2 ) = 0 . 



« Se % è la normale comune alle due linee Li e L 2 in M , avremo : 

 (1) (Ai — A 2 ) cos nx + (Bx — B 2 ) cos ny -b (Ci — C 2 ) cos m = 0 . 



« Prendiamo ora tre curve L x , L 2/ , , che passino per M , ed i cui 

 elementi in M siano rispettivamente paralleli agli assi x , y , s . Denotiamo 

 con (A a . , B x , Cj»), (A ?/ , B (/ , C ;/ ), (A- , B^ , C-) rispettivamente i valori 

 di A , B , C , corrispondenti alle tre curve L x , ~L y , L ; in M . 



a Applicando la (1) alle coppie di linee (L (/ , L-) , (L z , L^) , (L x , L„) 

 si otterrà: 



( A, = A ; , 



B; = B.,. , 

 ( C a . = C,. 



« Poniamo 



A 4 , = A*=P, B; = B* = Q, C a! =C^ = E. 

 « Si conduca una linea qualunque L per M e supponiamo che l'elemento 

 che passa per M abbia la direzione a , /? , y . Siano A , B , C i valori cor- 

 rispondenti alla linea L nel punto M. Per applicare la (1) alle due linee L 

 e L- , bisognerà prendere : 



P a l 

 cos nx — , , cos ny — — — — , cos nz = 0 



l/i— f- ' l/i— y 2 



