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e avremo: 



(A- — ¥)'P — (B — Q) |p= 0 . 

 Analogamente applicando la (1) alle coppie di linee L, ~L X e L, L y , avremo: 



(B — Q)y — (A — P)*=0 

 (C — E) a— (B — Q)/5= 0 



onde 



P = A-Kfcs., Q = B-t-A/S, R — G-\-ky. 



- Per tutte le linee che passano per M potremo dunque prendere i valori 

 di A. B, C in M eguali a P, Q, E. Quindi si ha: 



« Se (f è una funzione semplice delle linee di un campo a tre dimen- 

 sioni, esistono per ogni punto del campo tre valori M , N , P che possono 

 rispettivamente prendersi come valori di A , B , C in quel punto per tutte 

 le linee die vi passano. 



» 4. Conduciamo una superficie 2 per le due linee Lj e L 2 (se ciò è 

 possibile) e tracciamo le normali n ad essa nei suoi vari punti nel modo indi- 

 cato (art. II, § 1). Avremo: 



5P I [1^3 1 — SP I [Li] | == (P cos /ix -+-Q cos /z^/H-B cos ns) d2. 



* Se la linea Lj. può ridursi ad un pimto, avremo al limite 



5P|MÌ = 0 



quindi 



£ I [^2] | = P(P cos nx -f- Q cos ny -f- E cos ns) d2 . 



- In questo caso 2 è una superfìcie semplicemente connessa il cui con- 

 tomo è formato dalla linea L 2 . La direzione della normale n in un punto M 

 è quella in cui disponendosi un osservatore vede girare nel senso degli indici 

 di un orologio una linea che da M va ad un punto mobile sul contomo nel 

 senso in cui esso deve esser percorso. 



" Se la superfìcie 2 va impiccolendosi indefinitamente riducendosi ad un 

 pimto M, avremo: 



lini 9 ■ ■ = P cos nx -j- Q cos ny + E cos ns , 



in cui i valori di P, Q, E corrispondono ah punto M. Scriveremo: 



(f ■ | TL,] | d(p 

 hm —2— = dI- 



Il segno di sarà noto soltanto quando si sia stabilita la direzione della 



nonnaie n a 2. 



- Se 2 fosse piana e normale ad x si avrebbe: 



