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mentre se fosse normale a y o a s 



l im £liMi = K . 



È perciò che si possono rappresentare P, Q, R rispettivamente coi simboli : 



dxf d(f d(f 



d i>/i ; ) d(s,x) d(x,y) 



« 5. Conduciamo ora una superfìcie chiusa qualunque e; si dovrà avere: 

 J~(P cos nx 4- Q cos ny 4- R cos nz) da = 0 . 

 Quindi P, Q, R dovranno soddisfare alla condizione : 



(2) ^ + 2S+25 =0 , 



~òx 1y l>z 



ovvero : 



~ò d<p t ~ò dq> , ~ò d(f 



Reciprocamente se P, Q, R soddisfaranno alla condizione (2) esisterà sempre 

 una funzione delle linee del campo <p tale che 



(^) 1 (zx) d (xy) 



La 9) sarà determinata dalle P, Q, R a meno di una costante arbitraria. 



« 6. Supponiamo di stabilire una corrispondenza univoca fra due campi 

 a tre dimensioni mediante le relazioni: 



# — i?, 0 , ^ — y (& Ò .i * = 2 % 0 



Ad una funzione di linee nel primo campo corrisponderà una funzione di linee 

 nel secondo. Si tratta di trovare le relazioni fra 



dep dep d(p dy dep dq> 



d{yà) d(zx) d(xy) d(^) d (££) d(^rj) 



A tal fine prendiamo una superficie S nel primo campo il cui contorno sia L, 

 ad essa corrisponderà nel secondo una superficie 2 il cui contorno sarà A. 

 1 punti della superficie definiamoli mediante due parametri u n. Avremo : 



SP I M I =J (P cos nx 4- Q cos ny 4- R cos &*) rfc 



ovvero : 



,lli ] | = rj,M + ,'B + ,'laajÌii, i 



Js tì!(^y) ^d(uv) d(uv)) 



{uv) d (uv) d (uv) 



d (i/Zi 



in cui , y ' ecc., denotano i determinanti funzionali di ys rispetto ad u.v ecc. 

 d(av) 9 



