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« A tal fine, come è ben noto dalla teoria del moltiplicatore di Jacobi, 

 basterà cominciare dal determinare una funzione fi la quale soddisfi alla 

 condizione 



*£^+=£=° 



e quindi prendere 



(2) ! -r^f (P^-Qto) + /(/*), 



essendo / una funzione arbitraria (Vedi Jacobi, Vàri. uh. Dynamik. pag. 78). 



« 2. Supponiamo ora di eseguire un cambiamento di variabili e di pas- 

 sare dalle x, y, & alle ?, ry, £ lasciando inalterate le due funzioni A e fi. Avremo 



cl(Lfi) d(X,fi) d(y,s) ^_ d(X,fi) d(s,x) _^ djX.fi) d{s,x) 



d{ri&) ~ d(y,z) d{)j£) d(s,x) d(rj£) d(z,x) d(r l £)~~ 

 _ p d(y,s) 0 d{s,x) d(xjj) _ d<p _ 

 d(rj,C) ^ * c%£) ~^ d{riX) ~ d(rj£) 



e analogamente 



d{X,fx) d(p 



P, 



d(^) 

 d(^,f.i) _ d(p 

 d(S,t]) ~d($,rj) 



quindi le due funzioni l e fi sono collegate alle derivate di y> dalle stesse 

 relazioni, qualunque sia il sistema di coordinate che si sceglie. 



« 3. Prendiamo una superficie qualunque a e su di essa un sistema di 

 coordinate curvilinee u, v, tali che il quadrato dell'elemento lineare sia 



ds 2 = Udii 2 + 2Fdu dv -h Gdv 2 



e consideriamo . Avremo 

 da 



dy - n n d(l,[i) d{X<fi). 



-j- — p cos nx -+- Q cos ny ■+ R cos m — -j, — -± cos nx -+- ,, , cos »y -+- 



d(X,fL) 



cos ns . 



d{x,y) 



« Quindi 



(3) 



dq> 1 d(X, l u) 



da ~ j/EGi- — P 2 



« 4. Dalla formula precedente resulta che se sopra una superficie a si 

 ha A = cost, oppure /i — cost, ne viene che ^ = 0 e quindi §p è costante 

 per tutte le linee della superficie. Dimostriamo ora reciprocamente che se </> 



