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« Ad un punto M (non singolare) preso sulla superfìcie corrisponderanno 

 due valori complessi f e y. Ad un punto N corrisponderanno i valori f-\-Jf, 

 <f-hJtp. Se coli' avvicinarsi indefinito di N ad M si ha che 



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esiste ed è indipendente dal modo con cui N si approssima ad M, si dice, 

 secondo Riemann, che (p è una funzione della variabile complessa f. 



« Da questa definizione Biemann dedusse prima di ogni altra cosa la 

 relazione che passa fra la teoria delle funzioni di variabili complesse e quelle 

 della equazione A % = 0 il che gli servì di base alla teoria delle caratteri- 

 stiche (!). 



« 2. Le considerazioni di Riemann, che si riferiscono ad uno spazio a 

 due dimensioni, possono estendersi agli spazi a tre dimensioni, purché invece 

 di partire da funzioni dei punti dello spazio, si parta da funzioni che di- 

 pendono dalle linee dello spazio a tre dimensioni ( 2 ). Mi propongo in questa 

 Nota di esporre appunto i fondamenti di tale estensione. 



« 3. Si abbiano due variabili complesse funzioni continue dipendenti dalle 

 linee di un campo a tre dimensioni, tali cioè che ad ogni linea chiusa in- 

 terna al campo, oppure ad ogni linea che finisce al contorno del campo, 

 corrisponda un valore di ciascuna delle due variabili complesse. 



« Supporremo che le due funzioni di linee siano semplici ( 3 ) e stabili- 

 remo fra di esse un legame analogo a quello posto da Riemann per le fun- 

 zioni dei punti di una superficie. 



« A tal fine si consideri una curva L alla quale corrispondono i valori P 

 e (P per le due funzioni, e si deformi un tratto della curva nel cui interno 

 trovasi un punto M. Le variazioni di F e CP corrispondenti a questa defor- 

 mazione siano J¥ e J<P. Se coli' impiccolire indefinitamente della deforma- 

 zione e del tratto deformato, il limite del rapporto 



esiste e dipende soltanto dalla posizione del punto M, si dirà che le due 

 funzioni F e $ sono collegale fra loro nel senso riemanniano. 



« Resulta immediatamente da questa definizione che se <t> e *P sono col- 

 legate ad F, <t> è collegata a *P. 



» 4. Vediamo di stabilire le proprietà fondamentali che si deducono da 

 questa definizione. 



( 1 ) Grundlangen fùr eine allgemeine Theorie der Functionen einer verànderlicheu 

 complexen Gròsse. — Riemann's Werke, p. 4. 



( 2 ) Vedi la mia Nota: Sopra le funzioni dipendenti da linee, pubblicata in questi 

 Rendiconti. 



( 3 ) Vedi Nota cit, Art. II, § 3. 



