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quanto la parte immaginaria debbono soddisfare alle seguenti condizioni (vedi 

 formule (Bj) (B,)): 



d(^) 



d® v dV \ / d*P y _JF_J 



Dx \ Di 7 ~òy \ D s 



7>£ \ D 3 



0 . 



* Eeciprocamente se <P è una funzione reale semplice delle linee di un 

 campo a tre dimensioni, la quale soddisfa alle precedenti condizioni, essa 

 potrà considerarsi come la parte reale 0 come la parte immaginaria di una 

 funzione collegata ad P nel senso riemanniano. Infatti per la seconda delle (E) 

 avremo (vedi Nota cit. , Art. II, § 5) cbe dovrà esistere una funzione reale P 

 delle linee, tale che 



dP lg d (xy) 13 d (sx 



v cVqì v dqs 

 -^•23 ~~r, — ; ^21 



(17) dP 23 djyz) - 1 djxy) 



d\zx) — Do 



-•^31 7 / \ -^32 



dP J1 d(sx) Si d(ys) 



d {xy) ~ D 3 



« Da queste formule, tenendo conto della prima delle (E), e con un 

 calcolo inverso a quello eseguito nel § 4 si giunge alle relazioni 



d& . dP dW dP d*P . dP 



1 



d(ys) " d(ys) d (so;) ' d (sx) d (xy) d (xy ) 



pv^-ips qi-hiq-2 



onde, posto *P + iP == A, avremo cbe il rapporto 



dA dA dA 



, cos nx -+- — n — r cos mi -+- -77 — — cos nz 

 d (ys) d (sx) J d (xy) 



dP dP d~E 



—77 — - cos nx -h -77 — - cos ny H — — — - cos ns 

 d {ys) d (sx) J d (xy) 



sarà indipendente dalla direzione », il cbe dimostra la proposizione enunciata. 



- La presente teoria è quindi intimamente legata allo studio delle equa- 

 zioni (E) le quali appunto nel nostro caso funzionano come la equazione dif- 

 ferenziale zT 2 = 0 nella teoria di Eiemann » . 



