— 312 — 



« 2. Oltre a questi teoremi, possiamo enunciare anche i seguenti sulle 

 funzioni intere simili: 

 a) Ponendo 



6(^)^2 h n x n , Gri (se) = 2 A M a? n ì 

 i coefficienti k n , h n sono legati, per n abbastanza grande, dalla relazione 



(2) k n +in = a 0 K + #1 K*-} H H «m ^m+n + - • 



/;) La relazione fra G(x) e G^i») si può scrivere 



' G 0) « (y) # 



2niJ ii — 



y — x 



dove l'integrazione è estesa ad una circonferenza di raggio maggiore di q 

 col centro nell'origine. 



c) Se, per valori di x crescenti lungo una certa direzione, si ha per 

 ogni p positivo 



Imi — 1 — - = oo 



xp 



lo stesso sarà di Gì (x) lungo quella direzione. 



d) Se, per x ed a reali e positivi, si ha per ogni «i <C « o per ogni 

 a 2 ^> a rispettivamente 



lim G (x) e-«> x = oo, o lini G (se) <r a ** = 0 , 



%=<x> x=<x> 



sarà corrispondentemente 



lim Q^(x)er^ x = oo , o lim G,(«r) e~^ x = 0 . 



X=co #=00 



e) Dividendo la (1) per la maggiore potenza positiva fra le due x m , 

 x m * (sia p. es. la prima), essa prende la forma : 



ora, moltiplicando per 



— e 00 dx 



x 



ed integrando lungo una circonferenza di raggio q 1 ^>q, e posto 



f e*G (*) v = » (z) , f f G, (*) ^ = g> , (i) , 

 si trova la relazione : 



(4) SPi w -(*)— 2av.SP (v> (*).; 



da ciò si vede che se due funzioni intere sono simili, le loro trasformate di 

 Laplace sono tali che lo derivate dell'ima sono sviluppabili in serie ordinate 

 per le derivate dell'altra. 



