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Matematica. — Sur une distribution de signes. Note de M. 

 E. Cesàro, presentata dal Socio Cremona. 



« Siles nombres o. x , a 2 , a 3 , .... croissent continuellement 

 et indéfiniment, et que Ui-\-u 2 -{-u 3 -\ soit une serie diver- 

 gente à terni e s positi fs, on a, poni n infini. 



\\ m Vl Vì ~i 1~ Vn = ]j m aiVl J r a ^ v "-~\ h a » v « , 



Ui-\-u 2 -\ f- u„ a y Ui -f a 2 ti* -j j- a n u„ 



pourvu que le second membre esiste. 



« Pour montrer que ce théorème découle immédiatement d'un autre, que 

 j'ai en rbonneur de commnniquer le 22 Avril à l'Académie, il me suffira de 

 faire voir que l'expression 



Z M ) 



évidemment positive et croissante, croìt avec n au-delà de toute limite. Ayant 

 choisi N arbitrairernent grand, il est clair qn'on peut toujours trouver un 

 nombre r, tei que l'on ait 



o.i u x + «2 u 2 -\ f- Oh — a 0 (ui -\-u 2 -\ \- u~, — N) , 



c 0 étant un nombre positi f, dépendant de v. L'expression considérée devient 

 alors 



N + (ai Ui + a 2 u 2 +.-•+ <h u*,) (— — \ + N a 4 ih\- — J ■ 



\a 0 a n+ J \a,i a n +i/ 



i'=N-t-l 



et l'on voit quelle surpasse N dès que a n +i stirpasse a 0 . Le théorème est 

 démontré. Si l'on fait v^=s„u n , a n u n = \. on obtient l'importante propo- 

 sition que voici: 



i Soit Ui -f- u 2 -f- u 3 -j une sèrie divergente, dont les ter- 



mes tendent, en décroissant, vers zèro. On a, pour n infini. 



lim €lUl ~^~ SìU ^ { b £nUn — lim fl * 2 ~J ^ f " - 



2*1 + «» -j h » 



si le second membre existe. 



« Ce théorème m'a fait découvrir une curieuse propriété des séries sim- 

 plement convergentes. Le terme general d'une telle sèrie peut étre représenté 

 par f„ti„, où s n est 1 ou — 1 snivant que le terme est positi fon negati f. 

 A cause de la convergence de s l u x -J- «2% ~\~ S 3 U 3 -f- et de la divergence 

 de u x -f- u 2 -j- w 3 -{- ■■• , le premier membre de la dentière égalité est nul, 



