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et le second est évidemrnent 2or — 1, si ra représente la probabilité de rea- 

 contrer, dans la serie considérée, un tenne positi f. Dono m = j- Autre- 

 rnent dit : 



«Dans tonte serie simplement convergente les termes 

 positifs sont aussi fréquents qne les termes négatifs, sileurs 

 valeurs absolnes décroissent tonjours. 



« Il est vrai que dans cet énoncé on admet tacitement Yexistence da 

 nombre us, de sorte que la propriété signalée ne sernble pas aussi generale 

 qu'on pourrait le désirer ; mais nous verrons que, si cs n'existe pas, la distri- 

 bution des signes des termes ne cesse pas de présenter une certame régula- 

 rité. Afin de mieux expliquer cela, je vais d'abord faire quelques remarques 

 sur la fréquence des propriétés dans les successions de nombres. 



« Pour indiquer qu'une propriété Sì apparti ent à quelque nombre du 

 système A, ou peut imaginer une fonction Sì(x), égale à 1 ou à 0 suivant 

 que x possède ou non la propriété Sì. Soient ai , « 2 , a 3 , ... les nombres du 

 système. Ayant posé 



Sì(a x ) -j- Sì(a 2 ) -\ \- Sì(a n ) = im„, , 



c<y n est la fréquence de Sì panni les n premi ers nombres de A. Si, pour n 

 croissant à l'infuri, w n tend vers une limite ro, il est naturel de considérer 

 celle-ci comme exprimant la probabilité qu'un nombre de A, pris au hasard, 

 possède la propriété Sì ; mais on ne doit jamais perdre de vue qu'on a disposé 

 les nombres dans un certain ordre, de sorte que, dans l'évaluation de co, on 

 vient à admettre que chaque nombre a,, est, pour ainsi dire, d'autant moins 

 accessible que son indice est plus grand. C'est donc sous la condition de 

 considérer A comme une succession, et non comme un système dont les nom- 

 bres soient aussi accessibles les uns que les autres, quii est permis d'attri- 

 buer à co la signification indiquée plus haut. Le nombre m peut d'ailleurs 

 varier avec l'ordre des termes de A. Il pourrait mème ne pas exister. On 

 concoit, en effet, qu'en parcourant le système suivant une route presente, une 

 répétition trop fréquente de Sì ou de la propriété contraire finisse par dérou- 

 ter l'observateur, de manière à lui rendre impossible l'appréciation exacte de 

 la fréquence cherchée. Je ne dis pas que, pour une telle appréciation, l'exi- 

 stence de m soit indispensable. Je puis mème indiqner une infinite de cas 

 où la valeur de la fréquence est parfaitement déterminée au moyen de la 

 notion de Yespérance mathématiqite, bien que &y n'existe pas. Cela arrive, 

 par exemple, lorsqu'on sait construire un certaia nombre de successions par- 

 tielles, constituant A sans omissions ni répétitions, et telles que, n parcou- 

 rant une quelconque de ces successions, zs n tende vers une limite déterminée. 

 Cette limite étant multipliée par la fréquence, relative à A, de la succes- 

 sion partielle correspondante, la somme de tous les produits analogues donne 

 la mesure de la fréquence demandée. Il y a malbeureusement des cas où 



